无穷维3-代数和Nambu力学中一些问题的研究

Nambu mechanics is a generalization of classical Hamiltonian mechanics.Due to its special properties, it has attracted a lot of interest from physical and mathematical point of view. We first focus on the 3-algebras and construct several infinite-dimensional 3-algebras which satisfy the fundamental identity (FI) condition.Then we investigate their supersymetric and q-deformed cases.In the context of integrable systems, it is well-known that the infinite-dimensional algebras play a very important role. We discuss the relation between the infinite-dimensional 3-algebras and the integrable systems in the framework of Nambu mechanics. Based on the infinite-dimensional 3-algebras, we try to derive the KP hierarchy and KdV hierarchy.The Calogero-Moser systems are one-dimensional multiparticle dynamics with long-range interactions. They are integrable at both classical and quantum levels. We reinvestigate the Calogero-Moser systems in the framework of Nambu mechanics. More intriguing properties will be revealed.

Nambu力学可视为推广的哈密顿力学,由于Nambu力学的特有性质，引起了人们的广泛关注，使其在许多方面具有重要的应用。在本项目中我们将首先针对无穷维3-代数进行深入研究，构造出一些满足FI(fundamental identity)条件的无穷维3-代数。基于对无穷维3-代数的理解和认识，我们将继续对其超对称以及q-形变的情形进行分析和研究，然后我们将在Nambu力学的框架下研究（超）无穷维3-代数和（超）可积系统（如KP方程族，KdV方程族等等）之间的联系，设法建立二者之间的联系。另外Calogero- Moser 模型研究的是一个具有长程相互作用的多粒子系统，该系统是经典及量子可积系统，具有丰富的数学结构和物理内涵。我们将主要从分析该模型的对称代数角度出发，在Nambu力学的框架下对该模型进行研究，进一步揭示Calogero- Moser 模型的特性。

在本项目中我们主要对一些无穷维3-代数进行了细致的研究。众所周知 $W_{1+\infty}$ 代数是一个重要的无穷维代数，它在共形场和可积系统中有重要的应用。我们给出了 $W_{1+\infty}$ 3-代数具体形式并研究了该3-代数与KP方程族之间的联系。我们发现在Nambu力学的框架下取两个不同的“哈密顿量对”可以给出KP方程以及KdV方程，此外我们基于KP方程族的不同“哈密顿量对”导出了一些（2+1）维非线性演化方程，虽然这些方程是不可积的（没有多孤子解），但我们发现其中一些方程仍然有单孤子解。另外我们在Nambu力学的框架下给出了复mKdV方程，Sasa-Satsuma 方程等一些重要的可积方程，我们还给出了一些推广的非线性薛定谔方程及其单孤子解并讨论了其在光纤通讯中的应用。我们对经典的Calogero-Moser模型也进行了研究，并给出了Virasoro-Witt 3-代数和 $W_{\infty}$ 3-代数的一种实现。我们还对q-形变的 Virasoro-Witt 和 SDiff(T2) n-代数进行了具体研究，构造出了非平凡的 q-形变 Virasoro-Witt n-代数，并证明了该q-形变的 n-代数实际上是 sh-n-Lie 代数；而对于q-形变的 SDiff(T2) n-代数，我们注意到仅当n是偶数时，它才构成sh-n-Lie 代数。由于这些q-形变的无穷维n-代数具有独特的性质，这为我们进一步研究其在物理学中的应用提供了坚实的基础。在项目中我们还在三系统（triple system）的框架下深入研究了Yang-Baxter方程，我们注意到如果要求Yang-Baxter方程的有理 R矩阵解满足推广的Filippov条件，此时可以给出R矩阵所满足的一个约束关系式。我们对超Yang-Baxter方程的情形也进行了相应的研究，并导出了相应R矩阵所满足的约束关系式。我们还进一步研究了一个与有理R矩阵关联的三系统的对称性，指出该三系统具有Yangian Y(sl2)协变性, 由于这样的三系统具有很好的对称性，这将有助于我们今后深入研究其在物理中的应用。