无穷维n-代数及其应用

Infinite dimensional algebra has the important applications in physics, it has attracted a lot of interest from physical and mathematical points of view. In this project, we first focus on the different realizations of some infinite dimensional algebras and construct their corresponding infinite dimensional n-algebras such that they satisfy the fundamental identity or generalized Jacobi identity. Then we study the q-deformed infinite dimensional n-algebras and explore their remarkable properties. As the applications, we reinvestigate the matrix models and integrable systems by means of the infinite dimensional n-algebras presented in this project.

无穷维代数在物理学许多领域都有重要的应用，因而一直受到人们的广泛关注。在本项目中我们将针对一些无穷维代数的不同实现方式进行具体分析和研究，设法构造出一些满足FI条件或广义雅克比恒等式的无穷维n-代数。此外我们将对无穷维n-代数的q-形变情形也进行研究，深刻揭示q-形变n-代数的特殊性质。基于以上对无穷维n-代数的理解和认识，我们还将进一步将其应用于矩阵模型以及可积系统的相关研究之中，从高结构代数的角度来揭示一些新的特性。

在本项目中我们主要研究了Virasoro代数和$W_{1+\infty}$代数及其n-代数的结构，给出它们的一种实现方式，并将其应用于矩阵模型的研究。我们首先构造了高斯厄米1-矩阵模型的一种新的Virasoro约束，该约束算子不仅构成Virasoro代数，而且还形成封闭的3-代数， 利用该约束可以十分简便地计算关联子。我们还利用Euler算子、 Lassalle算子和 Calogero模型的势能关系构造了一个多变量实现的$W_{1+\infty}$ n-代数，基于该实现我们研究了厄米矩阵模型，给出了它的$W_{1+\infty}$ 约束，该约束算子不仅能给出$W_{1+\infty}$ 代数，而且还构成封闭的$W_{1+\infty}$ n-代数，这种类型的约束将有助于深化矩阵模型及其应用的研究。我们对Ramond类型的超本征值模型也进行了深入研究，给出了该模型的W表示以及具有高结构代数对称的Virasoro约束； 我们进一步对Neveu-Schwarz类型的高斯和手征超本征值模型进行了研究，将它们的配分函数表示为关于齐次算子的不同幂次作用在函数的求和形式，给出了关联子的具体表达式。张量模型是矩阵模型从矩阵到张量的推广情形，我们对彩虹张量模型进行了深入研究，发现该模型也能写成W表示的形式并且具有高结构代数对称的Virasoro约束， 我们也构造了费米型的Aristotelian张量模型，给出了它们的W表示和关联子的具体表达式。基于对矩阵模型W表示的深入理解和认识，我们成功构造了具有W表示的配分函数层级并给出了层级的特征展开式，该层级包含了目前许多已有的超级可积矩阵模型，另外我们还证明了一个关于Jack 多项式的猜想公式。