概率测度的多项式型集中性质及其统计应用

The study on probability concentration phenomenon is focus on the relation between probability measure and metric on the metric space. The concentration properties extend the classic limit theories and have a lot of applications since they not only generalize the scope from the sum function to the Lipschitz function group, but also give the explicit not asymptotic derivation bounds. However, the recent research is on those measures with exponential moments. . We will use the generalized transportation inequalities and functional inequalities to study the polynomial concentration, and we will do some statistic application. The study includes: 1. How to derive the generalized transportation inequality from the polynomial concentration inequality under the k-concave structure of probability measure. 2. The relations between weighted Log-sobolev inequality and the generalized transportation inequality. 3. The concentration property of Markov process when the transit measure is a heavy-tailed distribution. We will use it to give the explicit bounds for the maximum likelihood estimators.

概率测度集中性研究的是度量空间上概率测度与度量之间的关系问题，它拓展了经典极限理论，不仅把研究对象由和函数扩大为Lipschitz函数族，而且给出了精确非渐近的概率估计上界，具有很强的应用性。然而，目前的研究主要围绕具有指数阶矩的概率测度展开。. 本项目以概率测度的集中性在概率统计领域中的应用需要为基本背景，采用广义传输不等式和函数不等式相结合的方法来研究厚尾概率测度的多项式型集中性质，重点对厚尾凹概率测度满足的多项式型集中不等式向广义一阶传输不等式的转化、加权Log-Sobolev不等式与广义二阶传输不等式的转化、转移函数是厚尾分布的马氏过程的集中性质以及该过程下未知参数的极大似然估计的精确偏离上界等关键问题展开研究。

本项目以概率测度的集中性在概率统计领域中的应用需要为基本背景，采用广义传输不等式和函数不等式相结合的方法研究了厚尾概率测度的多项式型集中性质并进行统计应用。重点研究了广义加强型传输不等式的各类性质，厚尾凹概率测度满足的多项式型集中不等式向广义一阶传输不等式的转化，有相同方差向量的高维正态分布在协方差系数满足一定条件下其最大和最小次序统计量在普通随机序下的大小关系，广义正态分布的最大和最小次序统计量满足的各类序关系及其Lipschitz函数在高维广义正态分布下的尾部收敛速度的大小关系，以及厚尾Dagum分布的最大次序统计量在参数优势序关系下的序关系。. 项目组首先研究了厚尾凹概率测度的尾部集中性质，包括借助等周函数给出了有关厚尾凹概率测度的累计分布函数的幂次不等式，通过选取某个k-concave概率测度作为参考测度给出了一般k-concave概率测度的集中性质，通过一般厚尾凹概率测度的分布函数来控制一般传输函数，并得到了其在单调变换下的若干性质。其次，项目组构造了加强型变形传输不等式，研究了其集中性、共轭型和高维扩张性，给出了满足加强型传输不等式的充分条件，根据厚尾凹概率测度的尾部特征给出了其满足这类不等式的矩充分条件，给出了Lipschitz变换下的概率测度满足此类加强型传输不等式的充分条件以及满足加强型传输不等式的必要条件。第三，项目组通过对高维正态的参数矩阵的优势序比较实现了次序统计量之间的比较，并证明了在某些情况下参数矩阵的优势序条件也是结论成立的必要条件。同时，通过比较参数矩阵之间的关系，给出了一类函数在高维正态分布下的尾部收敛速度的大小关系。第四，项目组研究了广义正态分布的最大和最小次序统计量满足的各类序关系。通过比较参数矩阵之间的关系，给出了一类函数在高维广义正态分布下的尾部收敛速度的大小关系。第五，项目组研究了厚尾Dagum分布的最大次序统计量在参数优势序关系下的序关系，通过比较参数向量之间的优势序关系，给出了最大次序统计量的普通序，凸序，似然比序等关系。