高维双曲型方程解的奇性结构及其演化的研究

二维和高维双曲型守恒律方程（组）的研究是偏微分方程最重要的研究课题之一。我们在本项目中将分以下方面进行探讨。.第一方面：包含两部分研究内容，研究当初值是某类光滑函数时，二维零压流方程组和二维单守恒律方程的高维全局解的奇性结构是怎样产生的？与一维的结构有什么本质性的不同？是如何随着时间的增长而演化的？ .第二方面：也含两部分研究内容，探讨初值是非自相似的高维黎曼初值时，即初值只含两种不同的常状态，初始间断是光滑闭曲线或闭曲面时，求解二维简化欧拉方程和三维零压流方程组的全局隐式特解；探讨高维激波及其高维奇性解的典型结构及其演化规律。.本项目将应用"全局隐函数法"、"包络曲率法"等有效的创新方法、利用和发展非自相似高维解的最新成果。 本项目的研究内容对守恒律的理论基础的探讨，对提供检验高维计算格式的标准解，都有重要的理论价值和意义。

本项目在以下五方面取得了研究成果。. 第一方面的研究及成果：发现了两个重要和基础性的守恒律方程的全局解的新公式。这是本项目取得的各结果中最有份量的结果，我们得到的齐次单守恒律方程的全局弱解新公式，本质性地推广了注明的Lax 公式，我们还得到了非齐次单守恒律方程的柯西问题的全局弱解公式。以往非齐次单守恒律方程没有弱解公式。. 第二方面的研究及成果：在Chapman-Jouguet方程的高维问题做出有新意的成果，还对该燃烧方程的数值计算提出了新的算法。我们的新算法，扩大了可计算的类型，以往不能算的类型在我们的新算法下都能算了。. 第三方面的研究及成果：研究了二维一般的守恒律方程的全局解的结构及其变化规律，进行了数值计算、对二维解的结构有若干新的发现。完成了以下两个问题的研究。分析了一类二维守恒律方程全局解几种不同的结构; 提出了构造二维非自相似全局解的构造方法和指导准则; 对二维全局解的结构进行了分类，提出了+包络、-包络和混合包络的新概念及由此产生的结构分类法。我们还研究了二维维双曲守恒律方程的初值问题的计算模拟。. 第四方面的成果：在哈密尔顿-雅可比方程的大时间行为上取得不错的结果。. 第五方面的成果：在一类重要的相关方程的估计方法上取得基础性进展。. 完成论文11篇，其中发表或接受发表6篇。