高维双曲型方程的奇性与退化全局解的研究

Several foundermental problems of high dimensional hyperbolic conservation laws will be investigated in this project, these problems includ: (1) through the analysis of position and judgment of shape of the envelop surface for 2-D characteristics,we will construct the global solution two-dimensional simplified Euler equation, and hope to discover new phenomena and some typical phenomenon of 2-D global solution structure; (2) we will construct the 2-D non-selfsimilar rarefaction wave and a class of two dimensional global theoratical solutions of 2-D isentropic Euler equations; (3) we will discover the new global solution's structures by classifying mixed envelope family of the 2-D characteristics surface;(4) we will do the diffraction analysis of 2-D shock wave of Chaplygin gas; (5) we will study connection criteria and connection method of a class of non self similar global basic wave for 2 × 2 two dimensional hyperbolic equations . The characteristics of the project are, first one is that we defined + envelope, - envelope and mixed type envelope, and through the analysis of their positioning and shape to discover the basic classification of typical structure of two dimensional global solutions and the 2-D fundamental wave interaction and structure; the second one is that we will combine the theoretical analysis and numerical calculation together; the third one is that our research is the research of the problems of some foundermental problems which are very important with significance and challenge.

本项目对高维双曲守恒律方程的几个基础性的问题开展研究，包括：（1）通过对二维特征的包络面位置和形状的分析判断，来构造二维简化欧拉方程的全局解，并希望发现二维解的全局结构的新现象和典型现象；（2）构造二维等熵全欧拉方程的一类非自相似的二维稀疏波和一类二维全局理论解；（3）利用二维特征面的混合型包络面族的分类，来发现二维双曲型方程的解的新结构；（4）研究Chaplygin气体二维激波的绕射分析；（5）研究一类2×2的二维双曲型方程组的非自相似基本波的全局连接准则和连接方法。 本项目的特色，一是我们通过定义+包络、-包络和混合型包络，并通过对它们的分析、定位和求解，来发现二维全局解和二维基本波相互作用的典型结构及一般结构的分类,研究方法有新意和自己的东西；二是我们的研究将理论分析和数值计算结合在一起；三是我们要研究的问题是需要回答的一些基础性的问题，这些问题都具有很重要的意义和大的挑战性。

本项目取得以下成果：（1）首次发现n维非齐次守恒律方程的n维激波和n维稀疏波两种波的解析表达式，并获得评审报告的很高评价，克服了n维情形和非齐次情形所带来的很大难度，论文以很快的速度在线发表在权威杂志Journal of Differential Equations上，论文提交修改稿后的两天后被接受，13天后被在线发表。.我们发现了在n维特征曲面族中的与黎曼不变量有关的n元新不变量: 一维守恒律方程理论中有黎曼不变量，但高维守恒律中一直没有发现类似的不变量。在该论文中，我们发现了在n维特征族中存在一个不变函数。在特征面上取为常数，是特征族上的不变量。可以看成黎曼不变量在n维的本质性推广。..审稿报告对我们的JDE论文的研究结果和进展有以下几点的好评： .1）…以我的观点看，这篇文章的结果对标量高维守恒律方程的研究给出了令人感兴趣和原创性的贡献。….2）关于我们研究问题的难度和意义：审稿意见评价到： .据我所知，该文章考虑的初值是被弯曲界面分开的两个状态的情形，在以往的文献中没有被研究过，…基于的自相似性的黎曼问题解的传统方法对该文章的情形中不适用。.3）…作者们考虑了一个自然类的初值，他们提出的构造有助于研究更一般的解的行为。….4）该论文组织得很好并且写作清晰。.(2）二维标量守恒律方程的二维Glimm型格式的构造和收敛性证明，以及应用该新格式证明了初值可以无界的二维柯西问题的解存在唯一性，并提出了新的二维熵条件对著名的Kruzkov熵条件，把以往柯西问题对初值要求有界的要求本质性地降低了。.（3）研究并得到了Eikonal 方程解的全局结构和正则性。被Arch. Rational Mech. Anal. 接受发表。.（4）研究了通过凹角楔子的三维低压稳态超音速欧拉流的性质，有关结果发表在Arch. Rational Mech. Anal上.（5）我们提出了包络的新方法，利用正包络和负包络的结构得到了二维守恒律全局解的结构和相互作用的结构的较完整分类。.（6）我们得到了著名数学家Majda院士提出的Majda燃烧方程的十几种黎曼问题解的统一的解的表达式。