若干结构特征值反问题的黎曼优化算法研究

Structured inverse eigenvalue problems arise in structured dynamics, applied physics, geophysics, vibration control, finite element model updating, economics and statistics, etc.. The computability is one of fundamental questions in inverse eigenvalue problems. The applicant intends to combine Riemannian geometry over matrix manifolds, nonlinear and nonsmooth optimization methods with numerical linear algebra and propose some stable, convergent and effective numerical Riemannian optimization methods for several structured inverse eigenvalue problems including semidefinite inverse (quadratic) eigenvalue problems, nonnegative inverse eigenvalue problems, the inverse eigenvalue problem for stochastic and doubly stochastic matrices, and least-square inverse eigenvalue problems. We hope to break through the bottleneck of existing numerical algorithms in large-scale (i.e., the number of rows of a square matrix is large than 1000) computations and provide a new way for large-scale computation of inverse eigenvalue problems and improve their practical applications.

结构特征值反问题在结构动力学、应用物理、地球物理学、振动控制、有限元模型修正、经济学以及统计学等领域中有重要的应用背景。可计算性是结构特征值反问题的基本问题之一。申请人拟结合基于矩阵流形的黎曼几何、非线性和非光滑最优化算法以及数值代数等工具，为包含半正定（二次）矩阵特征值反问题、非负矩阵特征值反问题、随机和双随机矩阵特征值反问题以及特征值反问题的最小二乘问题在内的若干重要结构特征值反问题提出一套稳定、收敛、高效的黎曼几何非线性优化算法，以突破已有算法在规模化（即矩阵阶数超过1000）计算方面的瓶颈。从而为结构特征值反问题的规模化计算打开新的研究途径并提高其实用性。

结构特征值反问题在结构动力学、振动控制、Sturm-Liouville 反问题、图论、生物模型和量子力学等领域都有广泛的应用。本项目探讨了若干结构特征值反问题，如基于测量响应数据和系统矩阵的部分二次特征值配置问题、非负矩阵特征值反问题、基于预先给定的部分特征对信息的随机矩阵特征值反问题、最小二乘矩阵特征值反问题以及正双随机矩阵特征值反问题等。我们提出了构造性算法、非线性优化算法以及基于矩阵流形的黎曼优化算法等。另外，我们还研究了四元数矩阵奇异值计算的保结构算法。这些研究进展不仅充实了矩阵计算和特征值反问题的理论和算法研究，同时可以为结构动力学、振动控制以及图论等应用领域中的实际问题提供数学理论和算法支撑。