Sierpinski族上自仿测度的谱与非谱性质及其谱结构的研究

本项目将研究由仿射迭代函数系统产生的惟一不变测度即自仿测度的谱与非谱性质以及谱结构问题.主要目标是针对平面与空间Sierpinski族这一典型情形探讨自仿集上存在指数函数正交基（也称为Fourier基）的条件与性质，为进一步在分形背景下建立Fourier分析理论奠定基础。研究内容有：（一）谱自仿测度产生的条件分析。拟就谱测度产生的必要条件与充分条件中的两个猜想，在自仿tile理论的基础上，从分析与代数结合的角度给出一些等价的刻画，并对两个元素数字集的情形给出1维谱测度的谱结构以及2维自仿测度的谱与非谱性质。（二）平面与空间Sierpinski族上自仿测度的谱与非谱性质。拟从此类数字集的特点出发，在迭代系统中引入路径测度、循环与图论中树的概念等，给出谱与非谱自仿测度比较合理的判断。上述这些研究内容将进一步丰富和拓展自仿测度的谱理论，为探索一些奇异现象提供有力的理论依据。

本项目按照原定的方案与技术路线探讨了直线、平面与空间Sierpinski族上自仿测度的谱与非谱性质以及谱结构。主要结果有：（1）针对具有可分解形式的数字集、扩张矩阵的行列式是素数以及和谐对条件等情形，利用逼近Parseval恒等式、循环的特点与表示式、单位根之和为零的代数结构等分析与代数结合的方法与技巧，得到一系列自仿测度为谱或非谱的充分条件和必要条件；（2）得到平面上两元素数字集所对应自仿测度的谱与非谱性质的第一个比较完整的结果，建立了两元素与四元素数字集所对应自仿测度的谱性质的联系，并给出处理此类问题的方法；（3）通过引入数论中同余关系和有限群中元素的阶的概念与性质，给出四分Cantor测度谱结构一个本质的刻画；（4）利用矩阵分解与组合技巧，获得平面Sierpinski族上自仿测度的谱与非谱性质的完整结果；（5）在研究空间Sierpinski族上自仿测度的谱与非谱性质方面, 取得了一系列实质性的结果。在三个方向压缩比的奇偶性不同时，解决了正交系的有限性与无限性问题。这些研究结果进一步丰富和发展了自仿测度的谱理论，为探索一些奇异现象和建立分形上的Fourier分析提供有力的理论依据。