距离正则图及其应用

距离正则图是一个重要的图类, 它具有高度的正则性和对称性，与有限群论、组合设计、有限几何、编码、计算机网络等学科有重要联系。 本项目的研究内容为: 距离正则图的结构理论和参数刻画、已知距离正则图的分类；用典型群的矩阵技巧刻划有典型参数的距离正则图的次成分；q-四面体代数与距离正则图的关系；距离正则图在Pooling设计、格论等方面的应用；建立具有纠错功能的满足DNA试验的Pooling设计。本项目的研究是距离正则图的核心内容和前沿课题。 这些工作不仅对距离正则图的基础研究有重要意义, 而且在DNA试验和克隆技术中也有重要应用。

本项目主要研究距离正则图的结构理论和应用, 取得了如下主要成果:. 1. 完全解决了P.Terwilliger和T.Ito提出的q-Racah型的Leonard对, Leonard三元组构作的公开问题. 在(1,2,1)型下解决了他们提出的q-Inverting对分类的公开问题. 对于他们提出的线性变换四元组的公开问题, 完全解决了其型的结构. 这些对具有Q多项式结构的距离正则图的分类有重要意义.. 2. 利用距离正则图的子图构造了三类有限格, 讨论了它们的原子性并计算了它们的特征多项式. 刻划了一类弱距离正则有向图, 给出了在度满足一定条件时的弱距离正则有向图的分类. . 3. 在辛空间中构作了一类严格Deza图, 计算了它的参数和谱. 在奇异辛空间中给出了两个新的计数定理, 并给出了它们对构作Deza图及拟强正则图的应用. 对于酉和正交空间中的对偶极图次成分, 确定了其上的所有次轨道, 并且计算了相应的秩和轨道的长度, 证明了在末尾次成分上诱导的子图是拟强正则的.. 4. 分别研究了由仿射空间的极大全迷向平坦子空间和向量空间中的极小平坦子空间构作的结合方案, 求出了它们的特征标表. 对于对偶极方案, 推广了关于交叉数的计数公式, 并给出了它们在顶点传递图上的应用. 构造了关于辛对偶极图, 对称双线性图, Johnson图, 双奇图, 双Grassmann图的可解集, 并得到了它们的度量维数的上界.. 5. 分别在向量空间, 辛空间, 仿射辛空间和仿射酉空间中, 用特殊子空间构造了有纠错能力的Pooling设计, 证明了这些Pooling设计比已有的某些Pooling设计有更好的纠错功能和较小的时间消耗. 改进了临界值群测的模型, 通过d析取矩阵给出了新模型的非顺应型算法, 讨论了该算法的计算复杂性.. 基于上述结果, 本项目共发表论文35篇, 其中SCI期刊文章28篇, 核心期刊文章7篇. 组织承办了两次代数组合国际研讨会.