距离正则图研究的若干代数方法

Distance regular graphs are a key topic in algebraic combinatorics. The theory whose main contents are tridiagonal pairs, Leonard pairs and Leonard triples is a new one formed in recent years for studying distance regular graphs. These new theories are known collectively as the representations of the Terwilliger algebras. They bring new methods on studying distance regular graphs. More and more people are interested in it. In this research, we study (1) the classification of tridiagonal pairs and Leonard triples; (2) the constructions of tridiagonal pairs, Leonard pairs and Leonard triples using geometry of classical groups over finite fields,Terwilliger algebras and the related Lie algebras and quantum groups; (3) the applications of tridiagonal pairs, Leonard pairs and Leonard triples to distance regular graphs. The study on these new methods and theories make an important role not only in algebraic combinatorics, but also in classical groups, Lie algebras and quantum groups.

距离正则图是代数组合论的核心课题。以三对角对、勒纳德对和勒纳德三元组为主要研究内容的理论是近年兴起的研究距离正则图的新理论。这些新理论统称为Terwilliger代数的表示理论。这些新理论给距离正则图的研究带来了全新的方法，受到人们越来越多的关注。本项目研究：（1）三对角对和勒纳德三元组的分类；（2）利用有限典型群几何、Terwilliger代数和与之相关的李代数、量子群，构作三对角对、勒纳德对和勒纳德三元组；（3）研究三对角对、勒纳德对、勒纳德三元组在距离正则图上的应用。这些新方法和理论的研究，不仅对代数组合的研究有重要意义，而且对典型群、李代数和量子群的研究也有重要意义。

本项目围绕距离正则图的新方法Terwilliger代数表示理论进行研究, 共发表论文26篇, 其中SCI文章 21篇, 核心刊物文章5篇, 出版专著一部, 得到如下开创性成果：.1. 确定了Terwilliger代数表示理论中的Leonard三元组共有四类, 分别为q-Racah型, Krawtchouk型, Racah型和Bannai-Ito型. 给出了Bannai-Ito型和Krawtchouk型Leonard三元组的分类, 从而解决了Leonard三元组的完全分类 (q-Racah型由中国台湾黄皜文在2011年解决, Racah型由高锁刚、王燕、侯波在2013年解决)..2. 利用Leonard对、Leonard三元组理论确定了Grassmann图的Terwilliger代数以及它和量子代数Uq(sl2), 李代数sl2之间的关系; 研究了超立方体与四面体代数的关系..3. 确定了对折(2D+1)立方体的上升、下降矩阵的线性结构和该图的一致偏序结构..4. 利用三类距离正则图构造了Leonard三元组; 对给定的 Bannai-Ito 型全几乎二部 Leonard 对,构造了对应的Leonard 三元组; 给出了经典型Leonard对具有LB-TD型的充要条件..5. 利用有限辛、酉空间、奇异线性空间分别构造了一致偏序集和Leonard对..6. 给出了 Bannai-Ito代数有限维既约模的分类; 确定了End(V(1,d))上的所有线性变换A, 使得作用在V(1,d)上, A与Uq(sl2)上的均匀生成元都是Leonard对;给出了经典型Leonard对具有LB-TD型的充要条件..7. 完成专著一部,《距离正则图及其相关代数》, 科学出版社. 该专著介绍了距离正则图的一般结论和本课题组近年来研究距离正则图的成果..8. 开拓了研究领域, 研究了H(n,2)上的相对2-设计、4-设计和6-设计,得到相对6-设计的Fisher型下界.