分数阶偏微分方程的有限元方法及其在软物质中的应用

In this project, we will study the fractional derivative modeling and finite element analysis for soft matter ("complex fluids"). Firstly, we will study the characteristics of fractional dynamics for the soft matter, then combine with the generalized constitutive equations (such as the generalized Hooke's law, the generalized Darcy law, the generalized law of heat conduction and the law of non-Newtonian fluid), conservation law(conservation of mass, conservation of momentum and conservation of energy) and other relations, to establish the fractional kinetic models of the soft matter, such as the nonlinear fractional partial differential euqations (groups). According to the fractional finite element method and fractional discontinuous finite element method, we will study the nonlinear fractional partial differential equations (groups). We will discuss fractional Sobolev spaces and fractional embedding theorem in high dimensions in the finite element analysis. And we will also focus on the stability of the algorithm, the format's existence, uniqueness, the error estimation of the variational solution and so on. Because of the singularity and the non-locality of the fractional operator, the amount of the computaion is heavy and hard to reduce. In this project, we will especially study the high-dimensional problem, long time problem, long path problem and the fractional hyperbolic problems which are all caused by the heavy amount of computaion. Finally, we will use the numerical results to analysis, validate and feedback the mechanical background and practical significance of the fractional kinetic models.

本项目将首先研究软物质（"复杂流体"）在分数阶动力学方面的特性，并结合广义本构方程（诸如广义胡克定律，广义达西律，广义热传导定律和非牛顿流体定律）以及守恒方程（质量守恒、动量守恒和能量守恒）等关系，建立软物质行为下的分数阶动力学模型。之后将利用分数阶有限元方法和分数阶间断有限元等方法来研究各种情形下的非线性分数阶偏微分方程（组），并给出相应的有限元理论分析，包括高维空间下的分数阶Sobolev 空间及相关嵌入定理，所研究算法的稳定性问题、格式的存在性、唯一性问题，误差估计问题。重点研究由分数阶算子的奇异性和非局部性造成的计算量和与之相关的高维问题，长时间、长路径和分数阶双曲型方程的有限元和间断有限元数值模拟等棘手问题。最后将利用有效的数值结果来分析、验证和反馈所得模型所具有的力学背景和实际意义。

本项目主要研究了分数阶偏微分方程的建模、有限元方法及相关数学理论的工作。.首先，本项目应用分数阶微积分的相关性质以及相关本构关系，在已有分数阶微分方程的基础上，建立了一系列软物质动力学行为下的分数阶微分模型，如分数阶Volterra积分微分方程、抛物型分数阶积分微分方程、双曲型分数阶积分微分方程等若干等价模型，一方面便于进一步分析其动力学行为，另一方面便于构造新的、高效的数值格式。.其次，本项目利用有限元/蛙跳格式数值求解了空间分数阶扩散方程，得到了二阶收敛格式，并进行了理论分析与数值实验；利用有限元方法及分数阶梯形公式等方法数值求解了时空分数阶扩散方程的等价模型——分数阶Volterra积分微分方程，并进行了稳定性分析与收敛性分析；利用有限元方法及Crank-Nicholson 差分格式等方法数值求解了抛物型分数阶积分微分方程在非光滑初始条件下的数值解问题；利用有限元方法及三层向后差分格式等方法数值求解了双曲型分数阶积分微分方程问题；利用间断有限元方法数值求解了分数阶电缆方程的初边值问题；利用推广的WENO 差分方法及Runga-Kutta 方法数值求解了一类分数阶双曲方程，特别研究了在周期边界条件下、间断问题下、长路径问题的不同情形下，该算法依旧能够保证在光滑区域达到高阶精度、在非光滑区域保持解的间断性的能力；利用时间有限元方法数值求解了一类含有Caputo导数的分数阶常微分方程的初值问题，并对弱解的存在唯一性，收敛性等问题进行了研究与讨论。.之后，本项目在理论方面系统研究了分数阶导数空间和分数阶Sobolev 空间定义和相关性质。如在分数阶分部积分的基础上，本项目首次定义了在L^p 意义下的分数阶左、右导数空间，证明了该空间在在L^2 意义下与已有分数阶Hilbert 空间的等价性；进一步给出了推广了的分数阶左右导数的变分原理和等价关系，以及相应的嵌入定理，为分数阶微分方程的有限元分析扩充了新的理论体系；在分数阶Ritz 映射的基础上，最新定义了分数阶Ritz-Volterra 映射，并给出了相关性质。.本项目的这些工作丰富了分数阶微分方程的数值计算工作，可以作为研究其他分数阶微分方程的工具与手段，也为偏微分方程在分数阶方面的应用研究奠定了良好的研究基础。