基于符号计算的多维系统状态空间实现方法研究

多维系统研究及具有不确定性、参数时变性的复杂控制系统鲁棒控制中，需要为系统传递函数（矩阵）建立Roesser状态空间模型实现（或LFR建模）。该问题因其高度复杂性，仍未得到彻底解决。本项目旨在提出一种基于符号计算的新实现方法，具体研究内容包括：1.为多维系统实现问题建立全新数学描述，将其转化为多项式矩阵初等变换问题，提出新实现方法并予以严格数学证明；2.建立新方法的标准实现步骤和算法；3.阐明传递函数（矩阵）与标准算法产生实现维数间的本质关系，建立实现维数预估计方法，并利用维数预估计方法改进标准实现算法，开发低维数实现技术。新方法特色包括：1.无需建立具体实现结构，其维数却能得到准确估计；2.新方法软件包可对符号系数传递函数（矩阵）自动生成实现，且维数比现有方法的低。该项目研究成果将为多维系统理论、复杂控制系统理论及其实际应用提供有力支撑。

虽然多维系统Roesser状态空间模型实现问题一直深受国内外学者广泛关注，却因其高度复杂性而仍未得到彻底解决。本项目研究旨在提出一种基于符号计算的多维MIMO系统Roesser状态空间模型实现方法，从而提供一种较为完善的多维系统实现问题的解决方法。. 本项目研究按照计划有序执行，主要在以下两方面展开研究，并达到预期目标。1.多维MIMO系统状态空间模型实现方法研究。我们首先提出了一种基于多项式矩阵初等变换的多维MIMO系统Roesser状态空间模型实现方法。该方法拥有概念简单，实现维数低，易于符号计算等诸多优点。随后，我们建立了新方法的标准算法，并基于MATLAB2008b的符号引擎MuPAD开发了应用软件，从而为多维MIMO系统Roesser状态空间模型实现问题提供了一个新颖的、较为完善的解决方法和应用软件。此外，我们将基于初等变换的思路拓展至Fornasini-Marchesini（FM）状态空间模型实现方法研究中。所提出的FM模型新实现方法可获得较低维数模型，尤其是针对FM模型三角化实现问题，优势更加明显。最后，我们提出了基于FM模型的二维频率变换状态空间公式，并应用其设计二维零相位陷波滤波器，可有效抑制滤波器的非线性相位所产生失真，提高图像滤波质量。2.多维系统低维数Roesser状态空间模型实现技术研究。我们反过来应用实现的思想，提出了一种基于初等变换的Roesser模型降阶的方法以获得低维数Roesser模型，发展了三种降阶技术，不仅降阶效率高，适用范围广，而且有利于探究多维系统降阶问题的本质。此外，对于项目中所提出的新Roesser模型实现方法，我们建立了其模型阶数预估计方法。这种预估计方法是本项目研究的特色之处，它将有利于提高获得可能最小实现的效率，并可以应用到实现步骤选择的判断中，从而发展低维数模型实现技术。. 综上所述，本项目研究在多维系统状态空间模型实现问题上获得了重要突破。本项目研究成果适用于多维系统Roesser/FM状态空间模型实现或不确定性系统、线性变参数系统等复杂控制系统的LFR建模，可为多维系统理论、复杂控制系统理论以及相关应用与设计提供有力支撑。