代数曲线基本理论数值化及应用

代数曲线在数学与应用数学的各个分支以及诸多工程领域中具有重要的应用，从计算角度讨论代数曲线是近年的一个研究热点。本项目区别于传统基于符号计算的代数曲线研究方法，拟从数值计算角度出发，利用同伦连续方法求解多项式方程组所具有的全局收敛性及高效鲁棒性等优势，在普通的16位双精度运算下，数值化计算一些代数几何基本量（如交点、奇异点、亏格等），并对小扰动下代数曲线基本量进行误差估计和相关性质的分析；并在此基础上对代数曲线一些经典结论（如Bezout定理、Noether定理、Cayley-Bacharach定理、Pascal型定理等）的条件进行判断，寻找有效的、方便实用的数值化方法；进一步利用所获得的数值算法开展图像不变性特征理论及应用研究中一些几何不变量（如本团队发现的新的代数曲线不变量-特征比、特征数）的具体计算；同时开展同伦连续方法的并行化研究，以适应某些高度复杂的实际应用问题。

经典数学理论的数值化实现和应用近些年受到越来越多的关注，本项目以代数曲线经典理论数值化实现为目标，区别于传统的符号计算，通过引入同伦连续方法开展研究，取得了一系列突破性结果，主要研究成果包括：将求解多项式方程组的同伦连续方法与标准机器精度下计算不精确单变量多项式重根的某类方法应用到代数曲线基本理论的数值化研究中，数值计算代数曲线的一些基本量（如交点、拐点、奇异点及重数等）,并对代数曲线一些经典理论（如Max Nother剩余交定理条件）进行数值化实现；通过建立对偶范数与最近多项式间的联系，构造性地给出了最近多项式的显式表达式计算方法；利用逼近型细分和插值型细分二者的联系，给出了由逼近型细分推导新细分格式的一个显式公式，该显式公式适用范围广；将有理Bézier曲线推广到高维球面上，获得一种新的球面曲线，即广义有理Bézier曲线，并将其应用到刚体旋转运动设计中；提出了任意维射影空间中的一族新的射影不变量——特征数，并通过特征数揭示了代数超曲面与闭回路直线集相交的内蕴性质，推导出了包含Morgan-Scott型剖分在内的一类剖分上一种样条函数空间奇异的代数条件，并由此根据特征数的性质导出相应的几何条件，进一步应用特征数这一新的射影不变量，给出了两个用于形状匹配的形状描述子，并将该描述子应用到图形匹配和识别中；针对非协调有限元的相关问题，利用一种新的立方体上的二次非协调有限元——MSLK元构造求解三维Stokes方程的稳定格式，该格式稳定且有最优的误差估计，同时构造了任意凸四边形网格上新的非协调有限元，证明对于二阶和三阶情形，其用于二阶椭圆问题具有最优收敛性；获得具有一定代数精度的二维或更高维求积公式的构造公式，以及给定节点的具有一定三角精度的一维求积公式的构造性算法。项目执行期间发表相关学术论文二十余篇，培养研究生毕业二十余人，承办及协办会议多次，每年参加学术交流活动不少于5人次，顺利完成项目预期研究成果。