Kahler曲面上极值度量若干问题研究

We study the extremal metric on Kahler surface, which is the critical point of Calabi functional of a Kahler class. The research topic includes:construction of typical extremal metrics, geometric-topological properties of extremal metrics,deformation of extremal metrics and existence of extremal solitons. We are going to obtain following results: the classification of extremal metrics on CP^2 with conical singularities, the geometric-tological obstruction of the existence of extremal metrics,the condition of deformations of extremal metrics,existence and uniqueness of extremal metrics with conical sinularities, etc.It is expected to understand extremal matrics on Kahler surfaces by studying these problems.

Kahler几何中的极值度量是当今国内外的研究热点。我们研究Kahler曲面上极值度量若干问题，内容包括：研究带角度极值度量的存在性、唯一性；构造Kahler曲面极值度量的典型实例；研究极值度量的几何拓扑性质；研究极值度量的形变和Extremal Soliton存在性等问题。希望得到复射影面上带角度极值度量的分类、Kahler曲面上一般极值度量构造法、极值度量存在的几何拓扑障碍等结论，给出极值度量可形变条件、Kahler曲面上带角度极值度量存在唯一的条件。通过解决这些问题，人们有望得到对Kahler曲面极值度量一个系统深入的了解。

我们研究带奇点极值度量的几何结构和存在性、格拉斯曼流形中极小球面分类的等问题，这是微分几何领域的热点研究课题。我们描述了带尖点极值度量的几何结构，利用一类亚纯1形式给出了这类度量的存在性。我们证明了带锥奇点常曲率度量可以用一个多值亚纯函数刻画，当该亚纯函数诱导的基本群表示是交换群时，常曲率度量的存在性等价于一类亚纯1形式的存在性，由此证明了该度量的存在性，并给出一个分类定理。同时，利用李群和活动标架理论，我们给出了G_2(n) 中齐性极小球面的完整分类；我们研究了格拉斯曼流形G(k,n)中常曲率极小球面曲率值的分布问题，给出了DHZ猜想的一个肯定回答。