有限李型单群的子群结构与表示论

Based on the applicant's recent research work and the current situation of Mckay conjecture, the present project mainly focuses on the following problems: 1. the stability of the largest normal p’-subgroup of the normalizer of a Sylow p-subgroup of a finite simple group of Lie type under the conjugate action of its automorphism group; 2. finite groups whose block graphs have no triangle; 3. finite simple groups with exactly two non-rational non-linear irreducible characters; 4. finite simple groups all of whose non-rational non-linear irreducible characters have the same degree; 5. the group and representation theoretic properties of the centralizers of semisimple elements of a finite simple group and how its automorphism group acts on the irreducible characters of the corresponding Lusztig series under the disconnectedness assumption of those centralizers; 6. whether or not finite simple groups of exceptional type E6, 2E6 satisfy the inductive Mckay condition; 7. finite simple groups of Lie type with at least two irreducible p-Brauer characters whose degrees are divisible by the defining characteristic p; and 8. finite groups with exactly one irreducible p-Brauer character degree divible by a given prime. The project has theoretical and practical significance in both group and representation theoretic development of finite simple groups of Lie type.

基于申请人近期的研究工作以及Mckay猜想的研究现状，本项目重点研究以下问题：1.研究有限李型单群的Sylow子群的正规化子的极大正规p'-子群在该单群自同构群作用下的不变性；2.研究块图没有三角的有限群；3.研究恰好只有两个非有理的非线性不可约特征标的有限单群；4.研究非有理的非线性不可约特征标度数都相同的有限单群；5.研究有限李型群的半单元的中心化子不连通时群论与表示论方面的性质以及对应的Lusztig序列在自同构群作用下的表现；6.研究E6、2E6型例外群是否满足约化的Mckay条件；7.研究至少有两个不同不可约Brauer特征标度数能被定义特征整除的李型单群；8.研究恰好只有一个不可约Brauer特征标度数能被给定素数整除的有限群。这些研究对于发展与完善有限李型单群群论及其表示论具有非常重要的理论与实际意义。

本项目研究有限李型单群的子群结构与表示论。有限群表示论是研究有限群的强大工具，其核心思想是研究局部-整体关系。这一思想被非常成功地运用到有限单群的分类工作。最近十几年，它被应用于将有限群表示论中诸多著名的公开问题，特别是McKay猜想、Alperin权猜想最终归结为研究有限李型单群的子群结构及其相关表示论。然而，迄今为止李型单群的已有知识与理论，还远远不能满足诸多实际需要。..基于项目计划研究内容与计划执行期间国际前沿最新发现，本项目研究成果所涉及的主题概述如下：小主块交与有限群可解性问题；块图与p-可解性问题；主块交平凡与幂零Hall子群存在性问题；亏零块存在性问题；特征标度数满足2-素数假设问题；拟投射Brauer特征标与Hilbert因子问题；Robinson猜想奇素数情形与偶素数典型群情形；Eaton-Moreto猜想的极小反例情形；特征标的最大高上界问题；富足半群Green*-关系与正规密码rrp半群同余问题；*-正规幂等元问题；全子半群链问题；自入射半群代数问题；半群一致连续表示问题；半模弱Brandt半群问题等。这些研究对于发展与完善有限李型单群群论及其表示论与半群理论具有非常重要的理论与实际意义。..本项目最终完成见刊论文18篇、接收但未见刊论文 1篇、投稿论文 1篇，总共20篇。部分论文发表情况为：Compositio Mathematica 1篇，Journal of Algebra 5篇，Journal of Group Theory1篇，Communications in Algebra 1 篇，Israel Journal of Mathematics 1 篇 （接收）。..项目执行期间，项目负责人和参与人参加国内外学术交流共计26次，其中项目负责人参加21次，项目参与人参加5次。本项目培养博士研究生2名，硕士研究生24名，其中项目负责人培养硕士研究生4名。