几类非有限分次李（超）代数的结构及其表示论

The Lie (super)algebras which are not finitely graded are important parts of Lie (super)algebras, and their development has inestimable influences on numerous research fields, e.g. Vertex operator algebras, quantum groups, Hopf algebras, and even mathematical physics and theoretical physics. However, there is no complete research system up to the present due to their complex structures and variable modalities. The present project primarily aims to explore the structures and representations of not finitely graded Lie (super)algebras. The structures, i.e. derivations, automorphism groups, cohomology groups, bialgebras and representations such as intermediate series modules, irreducible modules of several significant not finitely graded Lie (super)algebras will be investigated in detail in the project. Generally, not finitely graded Lie (super)algebras are in close connection with finitely graded Lie (super)algebras. In the applicant's PH.D. thesis, the bialgebra structures, quantizations of extended affine Lie algebras and the representations related to the W(a, b) algebras have been successfully accomplished. Due to their close relations to not finitely graded Lie algebras, this project will first improve the research methods, and then extends the theories of both the two types of finitely graded Lie algebras to the related not finitely graded Lie (super)algebras. The project will play a positive role in the perfection of the research system of not finitely graded Lie (super)algebras.

非有限分次李(超)代数是李（超）代数的重要组成部分。其发展不仅对李代数，而且对顶点算子代数，量子群，Hopf代数，甚至是数学物理，理论物理等研究领域都有着不可估量的影响。但是由于其结构复杂，形式多变，目前还没有形成完善的研究体系。本项目主要探讨非有限分次李（超）代数的结构以及表示理论，主要的研究内容就是对几类有意义的非有限分次李（超）代数，考虑其导子，自同构群，上同调，双代数等结构理论以及中间系列模，不可约模等表示理论。一般来说非有限分次李代数的研究与分次李代数的研究工作有着密切的联系。在申请人的博士毕业论文中，已经考虑了分次李代数中扩张仿射李代数的双代数结构、量子化以及W（a,b）李代数的表示。本项目通过进一步改进研究方法，将这两类有限分次李代数的一些研究理论推广至相关的非有限分次李（超）代数中，对完善非有限分次李(超)代数的研究体系起着积极的作用。

李（超）代数的结构及其表示理论已经成为数学的经典分支。非有限分次李代数是在研究哈密顿算子，顶点代数的过程中产生的，是李（超）代数的重要组成部分，其结构与表示与其他学科有着重要联系。非有限分次李（超）代数的结构和表示理论与有限分次李（超）代数相比，具有一定的丰富性和复杂性。. 本项目严格按照研究计划开展工作，改进并推广了有限分次李代数的研究方法，深入讨论了非有限分次李（超）代数的结构和表示理论。本项目的主要研究内容以及重要结果如下：（1）完整刻画了W（a,b）代数的不可分解的中间系列模结构，并证明出不可约的Harish − Chandra 模是最高最低权模或者是一致有界模；（2）给出了W（a,b）李共形代数的结构和它的秩为1的共形模结构；（3）通过推广并改进W（a,b）李代数的研究方法，利用W（a,b）的研究结果，深入探讨了Schrodinger-Virasoro代数，Block型李代数及其共形代数的表示理论,给出了相关的模结构。这部分工作对进一步完善非有限分次李代数的研究方法有着积极的作用；（4）详细论证了扩张仿射李代数的量子化结构，给出了六种非交换和非余交换的Hopf代数结构；（5）给出了Block型李代数的双代数结构，证明出所有的双代数结构都是三角上边缘的；（6）发现了存在于李代数量子群与李超代数量子群之间的某种内在同构关系，通过这个同构和李代数的已有结论，可以解决李超代数的诸多问题。. 本项目的研究目标具有重要的意义，研究工作取得了有价值的成果。这些研究成果已经整理成科学论文。截止结题，本项目共发表8篇SCI论文，完成预期目标。