不可约特征标度数与有限群的结构研究

In recent ten years, M. Isaacs, M. Lewis, and D. White systematically investigated the structure and properties of finite groups under the assumption that, for any two of their distinct irreducible character degrees, the greatest common divisor of them is 1 or a prime.. We believe that there are some related inequalities among the number of irreducible character degrees, the derived length (in the solvable case), and greatest common divisors of distinct degrees under certain weaker conditions. We shall mainly focus on the following situtions: 1.the greastest common divisors of distinct degrees are a prime power, and 2.the greastest common divisors of distinct degrees are square-free. In the extremal case, i.e., for any two distinct degrees m, n of irreducible characters, m divides n, n divides m, or m and n are coprime, we shall characterize such nonsolvable groups. In the mean time, we shall investigate groups satisfying the following conditions: (i) groups with exactly one nonlinear irreducible character whose degree is not a prime, (ii) groups whose nonlinear irreducible characters of p'-degree are of prime degree, and (iii) groups in which every nonlinear irreducible character is of square-free or prime power degree. . We shall first investigate the related proterties of almost simple groups, then choose some suitable normal subgroups, and find the wanted inequalites or determine the structure of finite groups. . As one will see, our research results will to some extent answer the open problems 54,49 appeared at the end of Y.Berkovich and E.Zhmud's book "characters of finite groups 2" and help to further develop character theory of finite groups.

最近十年，Isaacs、Lewis与White系统研究了最大公因子为1或者为素数条件下有限群的结构与性质。.我们认为，他们的研究工作蕴涵了更一般的情形。为此，本项目将研究把条件弱化为最大公因子为素数方幂时不可约特征标度数的上界、可解情形下的导列长与最高方幂的关系不等式；研究将条件弱化为最大公因子为无平方因子时，相关量的函数关系；研究对最大公因子作极端假设，即不同不可约特征标度数两两互素或者有整除关系时非可解群的刻画。与此同时，研究恰有一个度数不为素数、p'度数都为素数、度数为无平方因子或素数方幂时群的结构。.我们首先研究几乎单群的相关性质，然后选择合适的正规子群将问题约化，找到其中各个量之间的关系以及群的结构特征。本项目的预期研究结果将在一定程度上回答Berkovich与Zhmud在专著《有限群的特征标2》末尾提出的公开问题54、59，对进一步发展与完善特征标理论有较为重要的意义。

本项目研究不可约特征标度数对有限群性质与结构的影响，共完成论文18篇，其中10篇目前已经发表或接收（国外SCI期刊9篇, 国内北京大学学报1篇）、3篇已经投稿、3篇系列论文将依次投稿、2篇已经完成待投。在此，向国家自然科学基金委员会表示衷心感谢。现将已经发表或接收论文简述如下：.1. 围绕Lewis猜想，本项目首先提出素数方幂假设，随后研究满足此假设的非可解群的不可约度数个数上界, 证明了该上界不超过18。该成果发表于J. Algebra。.2. 根据李型单群的一个典型特征，我们定义并研究李型相近群，并给出这类群的完全刻画。该成果发表于J. Algebra。.3. 根据Isaacs与Passman关于不可约特征标度数都为素数的有限群的刻画，本项目合作研究了恰好只有一个度数不为素数的有限群。研究成果发表于J. Algebra Appl。.4. 基于施武杰、钱国华、Lewis几位教授在特征标最大度数方面的工作，本项目研究了在共轭类长上的平行问题，改进了何立国和施武杰两位教授的一个结果，研究成果发表于Monatsh Math。.5. 得到在有限群p阶子群共轭条件下度数能被群阶p-部分整除的不可约特征标的存在性的简洁等价条件。该成果发表于Arch Math。.6. 鉴于Sylow p-子群在本项目问题研究中的重要作用，本项目合作研究并完全分类了所有Sylow数可解的有限单群。该研究成果发表于J. Algebra Appl。.7. 与Lewis一起合作研究满足2-素数方幂假设的非可解群不可约度数个数上界，完成4篇专题系列论文，其中第一篇目前被Monatsh Math网络发行。.8. 基于Isaacs与Smith的相关工作，得到对不同素数下主块的不可约特征标度数都为素数方幂的有限群性质与结构。该成果目前被Monatsh Math网络发行。.9. 合作研究了不可约特征标p'-度数为1或者素数的有限群，得到了可解的一个判别法则。研究成果已被Bull. Aust. Math. Soc.接收。.10. 在项目研究过程中，我们注意到度数重数对有限群结构的影响，由此研究了度数重数不超过2的几乎单群。该研究成果发表于北京大学学报（自然科学版）。