极值图论中的谱图兰型问题

Turán-type problems play an important role in the study of extremal graph theory. Spectral Turán-type problems are variations of the classical ones, and the study focuses on finding sufficient spectral conditions for the existence of certain kinds of subgraphs. For this project, on the one hand, we aim to study spectral Turán theorem and spectral Erdös-Stone theorem, and study the relationship between the classical theorems and their spectral analogs; On the other hand, we plan to obtain the spectral analogs of several classical theorems on Hamiltonian properties of graphs. The research proposed in this project is a combination of topics in structural graph theory, extremal graph theory, and spectral graph theory. We pay attention to analyze the structure of graphs and apply probabilistic method, linear algebraic method, and regularity method during our study.

Turán型问题是极值图论中的重要研究问题，而谱Turán型问题是经典Turán型问题的一种变形。这方面的研究主要是给出图中各种子图存在性的特征值条件。本项目一方面以Turán定理、Erdös-Stone定理及其推广为主线，深入研究其相应的谱类似型定理，并研讨彼此之间的关系。另一方面则是研究经典的哈密顿圈和哈密顿路存在性定理的谱类似。本项目的研究是关于结构图论、极值图论和谱图论的结合，研究中注重结构分析、概率方法、代数方法和正则性引理的综合运用。

本项目主要研究极值图论中的谱图兰型问题。一方面，我们试图建立图的谱参数（如谱半径、无符号拉普拉斯谱）和图的结构参数（如团、哈密顿圈、哈密顿路）直接的联系；证明新的谱图兰性型定理，更深刻的理解图的结构和图的谱参数之间的关系。特别的，我们得到了Erdos定理和Moon-Moser关于哈密顿圈定理的谱类似；解决了Hansen-Lucas猜想和Cvetkovic-Rowlinson猜想，证明了Bollobas-Nikiforov关于图兰定理谱类似猜想的一个基本情况。另一方面，我们研究了极值图兰的长圈存在性的稳定性问题。具体的，我们给出了Woodall在1976年提出的一个长圈猜想的稳定性版本，解决了Gyori关于二部图长圈猜想的剩余情况，并且给出了Erdos-Gallai关于路的图兰数定理的广义图兰形式的推广。