子流形的完全非线性流及相关应用研究

Submanifold geometry mainly concerns the extrinsic properties of manifolds. It explores the global geometry and analysis properties, as well as the physical phenomena in terms of all kinds of geometric invariants. This project is devoted to explore the asymptotic behavior of several classes of fully nonlinear curvature flows, classify some kind of submanifolds, study image processing, and prove some geometric and functional inequalities by using curvature flows. These are basic problems of differential geometry, and are also important questions paid attention to by theoretical physicists. More specifically, we study the following three aspects. (1) Curvature flow of hypersurfaces. We shall study contracting flow of non-convex star-shaped hypersurfaces, or convex curvature flow of speed with homogeneous non-convex (or non-concave) curvature functions with degree greater than one, and their applications in image processing, and curvature flow of noncompact hypersurfaces. (2) Mean curvature flow of submanifolds. We shall study mean curvature flow of submanifolds with boundary, or non-compact submanifolds. We intend to get interior estimates, the long time existence and also the asymptotic behavior of infinity of these flows. (3) Application of curvature flows. We plan to classify related singular points of curvature flow, or apply asymptotic behavior of curvature flow to prove geometric and functional inequalities on manifolds, by constructing geometric monotonicities. We also intend to study the isoparametric problems of curvature flow and estimates of eigenvalues of elliptic operators on manifolds.

子流形几何主要研究流形的外蕴性质，通过各种几何不变量探索子流形的整体几何和分析性质，及其所蕴含的物理现象。本项目主要研究子流形的几类完全非线性曲率流的渐近性态，并把其运用到子流形的分类、图像处理，以及证明流形上的几何与分析不等式等。这些都是现代微分几何领域研究的重要问题，也是物理学家关注的基本问题。具体地，我们一是研究非凸星形超曲面的收缩曲率型流、发展速度为非凸（凹）齐性曲率函子的凸超曲面曲率流和它们在图像处理中的应用，以及非紧超曲面曲率流的内估计和无穷远渐近性态等。二是研究带边高余维子流形的平均曲率流，非紧（类空）子流形平均曲率流的长时间存在性和无穷远渐近性态。三是分类相关的曲率流奇异点，通过构造几何单调量，运用曲率流的渐进性证明流形上的几何和分析不等式，研究流形上椭圆算子的特征值估计，证明加权等周型不等式等。

本项目主要研究了子流形和超曲面完全非线性曲率流的几何与应用，包括高齐次曲率函数的曲率流、逆曲率流的性质和应用、以及类空超曲面的曲率流及应用等方面。本项目按计划完成了研究任务，具体地，我们研究了如下三方面问题。（1）超曲面的曲率流方面，我们研究了欧氏空间中发展速度为主曲率的高阶齐次函数的曲率流问题，当初始超曲面满足一定Pinching条件时，该曲率流有限时间内收缩到一点，规范化后收敛到标准球面。对于一类非齐次的曲率函数，我们也证明了相似的结果。（2）逆曲率流的研究方面，我们一是研究了欧氏空间中发展速度为曲率函数、支撑函数和径向函数乘积的凸超曲面的逆曲率流，以及欧氏和双曲空间中星型超曲面的逆曲率流，得到了相关的存在性和解的渐进性态。二是利用两点函数方法研究了空间形式中一大类逆曲率流的解的非塌缩性。三是应用逆曲率流的渐进性得到了欧氏空间中很多的几何与泛函不等式，以及运用流的方法证明了多个著名的Minkowski型问题的存在性。（3）类空超曲面曲率流的研究方面，我们研究了洛伦兹Warped积空间中的一类局部限制的平均曲率型流，给出了长时间存在性和收敛性，二是研究了GRW空间中一类类空逆曲率流的收敛性和渐进性态。作为应用，我们证明了洛伦兹Warped积空间和de Sitter球中的两个等周不等式，得到了和黎曼空间中超曲面相对应的结果。这些问题都是微分几何与几何分析领域研究的基本课题，也是几何学家与物理学家关心的重要问题，具有重要的理论意义和应用价值。