非线性系统的精确解与复杂边条件下的高精度解

The exact solutons or high precision numerical solutions for continuous integrable systems, discrete or semi-discrete systems and some specal important dissipationless systems are studied. The discrete or semi-discrete systems are hot areas in mathematical physics; The continuous integrable systems and dissipationless systems are of fundamental importance for mathematical physics; The nearly integrable systems are popular in physical applications. The stuties for the systems mensioned above put forward the demands for very high precision numerical solutions with special properties. But with only the current computational methods it is almost impossible to fulfill such kind of demands, for example it is almost impossible to study the asymptotic behaviors even for the simplest integrable systems only by the means of numerical analysis. In this project we will mainly focus on the following two kinds of problems. A) Investigate the invariant submanifold structure in the integrable systems and develop some methods to seek series of exact solutions for the given system based on its invariant submanifold structures. It should be natural that we will be able to understand new physics outside the solitons or the algebro-geometric solutions. B) Develop a new numerical method based on the invariant submanifold structures. We can expect that the new method will behave excelent for the integrable or nearly integrable systems even with the complex boundaries. We can also expect that with the more acurate and reliable solutions we can penetrate deeper into the theories of integrable systems and that the understanding of some special important nonlinear systems may be promoted.

本项目研究非线性系统，包括连续可积系统、(半)离散可积系统、近可积系统以及一些特殊重要的无耗散系统的精确求解和高精度数值求解。(半)离散可积方程是当前数学物理研究的热点问题，连续可积系统和无耗散系统在数学物理中有根本的重要性，而近可积系统具有广泛的实际应用。对以上问题的研究存在重大帮助的是满足一些苛刻要求的极高精度的数值解，但是用现成的数值方法得到的解很难达到要求。本项目将A) 通过研究可积系统的不变子流形结构，发展用不变子流形求精确解的方法，得到可积系统新的成系列的精确解，研究孤子解和代数几何解之外的物理；B)根据系统的不变子流形结构，给出新的计算方法，能在复杂边界条件下，对可积或者近可积系统求得令人满意的数值解，为可积系统在复杂边界下的求解理论提供启示,对若干特殊重要非线性系统求出高精度的可信的数值解，促进对其中物理的认识和理解。

对非线性系统的研究是人类认识世界的重要一环。其中的可积系统是一类存在丰富解析结构的重要系统，利用其解析性质可以对系统做深入的探讨，即便这样，可积系统中仍然存在很多需要先做数值计算才能理清思路的问题。 而不可积系统没有特别的解析结构，需要针对性的利用这些系统一些不易觉察的解析结构。..本项目主要研究了5个方面的内容。1. 通过不变子流形，包括不变量和不变式来构造偏微分方程的群不变解的优化系统;2. 通过研究量子多体谐振势系统、量子少体系统揭示量子体系中的可积结构以及环境扰动等物理;3. 可积方程的双哈密顿结构及其离散，从而实现数值计算的研究; 4. 渐近周期边界的一类特殊问题包括非局域对称、孤子和椭圆波相互作用解的研究;5. 一些黎曼-希尔伯特问题的高精度数值算法。..项目取得的比较重要的结果有4方面。1，对于一般方程（不限于可积方程）的群对称解分类问题我们有重要突破，解决了以往需要依靠经验对解的性质归类的问题，对一维和高维优化问题都实现了算法化；2， 通过对量子多体谐振势系统、量子少体系统等特殊系统的研究，理解了量子系统中的部分可积结构。3， 用算子离散的方法，我们对可积系统构造了适合数值计算的可积离散格式 。4, 初步建立了非局域对称局域化的方法，以KdV方程为例指出其达布变换可以通过求点对称的群不变解得到,以Bogoyavlenskii KdV方程为例构造了孤子-椭圆波相互作用解。..本项目计划完成10篇SCI论文，到目前为止实际完成16篇SCI学术论文(全部基金标注）， 发表在国内外重要的学术刊物上，包括2篇J. Chem. Phys., 2篇J. Math. Phys., 1篇Appl. Math. Lett.,1篇Physica A。 其中2016年发表在Appl. Math. Lett.上的这篇文章在2017年被评为高被引文章。