Cuntz半群的插值性质与Cuntz半群分类C*-代数的唯一性定理研究

The Cuntz semigroup of a C*-algebra is a positively ordered Abelian semigroup whose elements are equivalence classes of positive elements in the matrix algebras over the underlying C*-algebra. As a generalization of K-theory, it is a new invariant for the classification of C*-algebras, and it plays an important role in the classification of C*-algebras. Perera and Toms show that the interpolation property of the Cuntz semigroup can distinguish the Murray-von Neumann semigroup from the Cuntz semigroup. This subject aims at studying the interpolation property of the Cuntz semigroup via the inductive limit of C*-algebras and the extension of C*-algebras. We will study the problem of whether the inductive limit of a sequence of C*-algebras can preserve the interpolation property and the problem of whether the extension of C*-algebras can preserve the interpolation property. Also, we will study the structures of the preserver of the Cuntz comparison and the homomorphism between Cuntz semigroups, and the relationship among homomorphisms between two C*-algebras induced by a homomorphism between the associated Cuntz semigroups. At last, we will use these results to study the uniqueness theorem for the classification of C*-algebras via the Cuntz semigroup.

C*-代数的Cuntz半群是由C*-代数的矩阵代数中的正元等价类构成的正定且有序的Abelian半群，是K-理论的推广，是新的分类不变量，是C*-代数分类问题中的一个重要研究对象。Perera和Toms的研究结果表明Cuntz半群的插值性质是区分C*-代数的K群与Cuntz半群所包含分类信息量的关键性质，本项目拟通过C*-代数的扩张和C*-代数的归纳极限研究Cuntz半群的插值性质，主要研究Cuntz半群的插值性质在C*-代数归纳极限意义下的保持问题和C*-代数扩张中的提升问题。同时，本项目拟研究保持Cuntz比较关系的映射结构和Cuntz半群之间的同态结构，进而探讨Cuntz半群之间的同态提升到C*-代数之间的不同同态的近似酉等价性质，最后利用这些结果研究Cuntz半群分类C*-代数的唯一性定理。

C*-代数的Cuntz半群是K-理论的推广，是C*-代数分类问题中的一个重要不变量。本项目主要研究了Cuntz半群的稳定化形态Cu在广义归纳极限中的连续性，分解秩和顺从维数在C*-代数的广义归纳极限中的保持问题和C*-代数的迹拟对角扩张中的投影和酉元的提升问题。我们在一定的条件下证明了Cuntz半群的稳定化形态Cu关于C*-代数的广义归纳极限连续，也在一定条件下证明了广义归纳极限保持C*-代数的分解秩和顺从维数。我们在C*-代数的迹拟对角扩张中证明了商代数中的投影（或者酉元）存在商代数的迹态作用下的投影（或者酉元）近似提升。本项目还研究了Krein空间中的线性算子理论问题。我们给出了Krein空间上的基本对称算子关于任意闭子空间的矩阵分块表示，刻画了Krein空间中的正则子空间，并且分别给出了Krein空间中正则子空间上的J-自伴投影和伪正则子空间中的迷向部分的补空间上的J-自伴投影的具体表示。我们引入了投影的J-分解性质，证明了投影在一个由双射影理论引入的空间分解下具有J-分解性质。基于此性质，我们刻画了对称算子J使得给定的投影在Krein空间（H, J）中是一个J-自伴投影（或者J-正投影、或者J-负投影、或者J-压缩投影，或者J-膨胀投影）。