基于稀疏模型的盲去卷积问题理论与算法

Sparse models are widely used in the fields such as image and signal processing, pattern recognition and so on. Applying sparse modeling to “blind deconvolution”, which is one of the important problems in engineering, and systematically studying its theory and algorithms has important theoretical and practical implications. The project will use the methods of approximation theory, wavelet analysis, optimization theory, random matrix theory, algebra and combinational number theory to study sparse signal recovery in blind deconvolution problem. The theoretical analysis in literature was based on the assumption that the signal is sparse under some random dictionary. This assumption is strongly limited in real applications. The applicant will analyze the conditions required for signal recovery under some deterministic or constructed dictionary, such as discrete wavelet frames. Furthermore, by introducing some new sparse optimization model, the project will analyze the stability and approximation result of blind deconvolution problem, and also the convergence theory of the related algorithm. In addition, for multichannel demixing problem in blind deconvolution, the theory and algorithms are analyzed. The project combines sparse model, wavelet analysis and image processing to establish a deeper connection. It aims to provide more complete mathematical support for blind deconvolution problem, overcome the shortcomings of the prior art, and promote the development of both theory and real applications.

稀疏模型被广泛应用于图像及信号处理，模式识别等诸多领域。将稀疏建模应用于工程中的热门领域“盲去卷积”问题，系统研究其理论及算法，有重要的理论和实际意义。本项目利用逼近论、小波分析、优化理论、随机矩阵理论、代数学和组合数论等研究工具，研究稀疏信号的盲去卷积恢复问题。历史文献中盲去卷积的理论分析基于信号在随机字典下具有稀疏表示的假设。该假设在实际问题中具有很强的局限性。申请人将基于确定型或构造型字典，如离散的小波框架，分析信号恢复所需的条件。进一步地，通过引入新的稀疏优化模型，分析盲去卷积问题的信号恢复稳定性，逼近性及算法收敛性。此外，针对多通道融合的盲去卷积问题，进行信号分离的理论及算法分析。本项目将稀疏模型、小波分析和图像处理等热门领域结合，建立更深刻的联系，旨在为盲去卷积问题提供更完善的数学支撑，克服现有技术和分析的欠缺，推动理论和实际应用的发展。

在实际问题中，大规模数据通常呈现一定的低维结构或稀疏特性。本项目研究稀疏模型在实际工程领域中的去卷积问题的理论及算法。该问题的提出可追溯到通信技术出现的年代，且已广泛深入各个重要领域，如雷达成像，语音识别，照片复原等。本项目重点研究一类特殊的去卷积问题，即“相位恢复”问题，由于相位恢复问题的观测可视为信号同其自身共轭翻转的卷积，因此相位恢复也可被称为自卷积信号的恢复问题。本项目利用傅立叶分析工具，函数逼近论与小波分析中的最新理论，尤其是稀疏表示相关的数学工具，结合优化理论、矩阵理论、概率统计和泛函分析等诸多领域，对稀疏信号恢复的模型理论和最佳测量次数估计，信号恢复迭代算法的收敛性分析以及信号分离问题的理论分析展开研究。更为具体的，本项目在以下三个方面取得了实质性的进展：.1. 突破实相位恢复工具不能用于复相位恢复问题的障碍，首次得到复稀疏信号相位恢复问题在复高斯测量下的最佳测量次数，并设计相应的算法，在无须初始化稀疏信号支集的基础上，分析得到算法收敛至非凸模型的稳定点。.2. 基于最具有实际应用背景的傅立叶测量下的相位恢复问题，在添加掩模的基础上得到带截断项的非凸优化算法的收敛性分析，降低了所需的测量次数，部分解决了Candès提出的问题。.3. 针对一般噪声下的信号分离问题，提出修正的鲁棒零空间条件，得到最佳测量次数意义下稳定估计。.本项目的研究工作按照研究计划有序展开，研究结果克服了原有理论和方法的不足，实质性发展了现有的理论与算法。我们希望这些基础理论结果推动相关应用领域的发展。