随机环境下卡尔曼滤波器动态特性

The standard Kalman filter is an optimal estimation algorithm which extrates useful signals from measurements corrupted with random noise by using system dynamics and measurement models. Compared with the standard Kalman filter, Kalman filters in random environments are influenced by not only random noise but also randomly varying parameters from random environments. The standard Kalman filter has been well-investigated in textbooks,but Kalman filters in random environments have not been fully understood for a long time because of its complexity and difficulty. In this research project, we investigate the dynamical behavior of such Kalman filters and their applications. Specifically, we study the stochastic stability of Kalman filters in random environmrnts and the boundedness and ergodicity properties of related random Riccati equations. As applications, we also consider related control and estimation problems and extended Kalman filters in random environments.The systems under consideration are discrete-time,continuous-time,and hybrid-time linear and nonlinear stochastic systems,respectively.

标准Kalman滤波器是一种从被随机噪声污染的测量信号中,利用系统动力学模型和观测模型,抽取有用信号的最优滤波算法。与标准Kalman滤波器相比，随机环境下的Kalman滤波器不但受随机噪声影响,还受随机环境带来的随机变化参数影响。标准Kalman滤波器已经在教科书里得到很好的研究,但随机环境下Kalman滤波器,因其复杂和困难,仍然没有被完全理解。本课题研究随机环境下Kalman滤波器的动态特性及应用。具体地说,研究工作在随机环境下的Kalman滤波器的随机稳定性以及相关随机Riccati方程解的有界性和遍历性等问题。作为研究结果的应用,我们也考虑随机环境下控制和滤波的混和问题以及扩展Kalman滤波器。所考虑的系统分别是离散时间、连续时间以及混合时间线性和非线性随机系统。

有三项主要研究成果：..1）扩展卡尔曼滤波器 (EKF) 作为随机环境中卡尔曼滤波器的特例。..当扩展卡尔曼滤波器被用于正弦信号的参数估计问题时，我们对其Riccati方程解的基本极限行为进行了解析研究。我们证明了如果协方差矩阵有极限，则它一定是一个零矩阵。..2）通过约束优化求解霍曼转移。..受 J-P. Marec 的几何方法的启发，我们将两个共面圆轨道之间两脉冲霍曼转移问题考虑为一个约束非线性规划问题。利用 Kuhn-Tucker 定理，我们解析证明了霍曼转移的全局最优性。此约束非线性规划问题存在两组可行解，其中对应于霍曼转移的解是全局最小，而另一个解是局部最小。随后，我们考虑两个作为动态优化的轨道转移问题，利用变分法，它们被转化为两点和多点边值问题。用 Matlab 求解器 bvp4c，针对两个数值算例，我们成功地得到了算例的数值解，验证了霍曼转移确实是这些边值问题的解。通过静态和动态约束优化，对霍曼在九十二年前提出的轨道转移问题，我们重新发现了霍曼转移和它的最优性。..3）多约束条件下最优双脉冲空间拦截。..我们考虑了多约束条件下最优双脉冲空间拦截问题。除受拦截条件约束外，多个约束部分或全部施加于拦截器的落点或落区、脉冲和拦截时刻以及速度脉冲分量大小。我们将这些最优化问题定义为多点边值问题，并使用变分法来求解。为了利用拉格朗日乘子法，将不等式约束转化为无约束优化问题，使得变分法可以应用于这些约束的优化问题，我们通过松弛变量法将不等式约束转化为等式约束。我们为此提出了一种新的动态松弛变量方法。基于高精度数值解，我们建立了两个脉冲空间拦截问题的若干结论。具体地说，数值例子表明，当施加时间和速度的脉冲约束时，可能会产生最优两个脉冲解，并且如果两个脉冲时刻是自由的，那么两个具有速度脉冲约束的脉冲空间拦截问题可能退化为一个脉冲情形。