几类非线性映射分层不动点的混杂投影算法与应用研究

Research contents of this program: Combining with Geometry Theory in Banach Spaces, Critical Point Theory, and Nonlinear Approximation Theory, we use the contemporary hybrid iterative algorithms of the generalized projection and the Neighbouring point methods to study: (1) the existence and uniqueness of the hierarchical fixed points of quasi non-expansive operators, the generalized m-accretive operators, the generalized monotone operators and the solutions for variational inequalities, differential equations and abstract economic equilibrium problems in infinite dimensional Banach spaces; the strong or weak convergences of the generalized approximation iterative formats；(2) the exact distances among the hyper planes, hyper straight lines and the convex sets in infinite dimensional Banach spaces, especially we may be solving of the open problem "the convexity of Chebyshev sets" by calculating some distances. Research significance: we provide some new methods and new ways for the iteration algorithm research of fixed points of generalized nonlinear operator, or permit calculation to solve the open "convex set of Chebyshev sets" problem; The project is an interdisciplinary one with strong theoretical background and wide application and it can be widely used in the partial differential equation, transportation and economic balance, mechanics, the theory of optimum and control, circuit and structure analysis, and many other branches in mathematics and engineering science. We project to publish 10 papers on important journals in the world (including more than 5 papers cited by SCI or EI) and to cultivate 5-8 graduate students when the program is completed.

研究内容：运用当代广义投影和邻近点的混杂迭代算法，结合Banach空间几何理论、临界点理论、非线性逼近理论等，（1）研究无限维空间上的拟非扩张映射、m-增生映射、广义单调映射分层不动点的存在性、唯一性和在变分不等式、微分方程及抽象经济均衡问题的解，并构造广泛逼近迭代格式，研究其强、弱收敛性；（2）研究无限维空间中超平面、超直线和凸集间的具体距离，特别可能计算解决“Chebyshev集为凸集”这个公开问题。研究意义：为非线性算子不动点的迭代算法研究提供新方法和新途径，或许可计算解决世界性公开的问题；本项目是理论性和应用性都很强的边缘性交叉课题，在偏微分方程、运输与经济均衡、力学、最优化理论与控制、电路与结构分析，以及数学和工程科学中许多别的分支学科等方面都有广泛的应用。项目结题时计划在国内外重要期刊上发表学术论文10 篇（其中SCI\EI 收录5 篇）以上，培养5-8 名研究生。

在Hilbert空间或Banach空间中，不动点理论和变分不等式理论是非线性分析和优化理论的重要研究内容之一，它们在许多现实问题中有着广泛的应用， 如信号处理，鞍点问题，微分方程，电路分析，均衡问题和博弈论等；中科院科技战略咨询研究院等单位发布的《2020研究前沿》报告中把“变分不等式问题和不动点问题的迭代算法”列为全球数学~Top10~热点前沿。本项目的主要研究内容正是研究这类问题，研究无限维Banach空间上的广义非扩张算子、m-增生算子、广义单调算子分层不动点的存在性、唯一性和在变分不等式、微分方程及抽象经济均衡问题的解，并构造广泛逼近迭代格式算法，研究其强弱收敛性，且研究无限维Banach空间几何中的凸性、强弱闭性、强弱紧性及其应用。取得了一系列成果，主要是把算法结果从Hilbert空间推广到Banach空间，从非扩张算子的分层不动点推广到广义非扩张算子，从简单直接迭代算法推广到粘性混杂迭代算法，把条件从强减弱，把结果从弱加强，把一下难题（猜想）变形为较弱命题。其意义为非线性算子不动点的迭代算法研究提供新方法和新途径，为不动点理论在其它学科的理论应用提供了宽阔前景。在国内外学术刊物上发表学术论文21余篇，其中SCI/EI 收录13余篇，培养了14名硕士研究生和4名博士研究生。