偏微分方程中的渐近极限问题研究

Asymptotic limit in partial differential equations is one of the important branches of the research on partial differential equations. The low Mach number limit in fluid dynamics and the quasi-neutral limit of semiconductor models are two kinds of asymptotic limit in partial differential equations originating from physics. They are essentially singular limits which are frontier problems in the research of partial differential equations. They have important theoretical significance and solid application background, and are also challenging. . The present project mainly considers the low Mach number limit of non-isentropic compressible Navier-Stokes equations for perfect gas with general initial data and large temperature variation and the one of viscoelastic fluid equations in the bounded domain (including the low Mach number limit of the global strong solutions to the three-dimensional Oldroyd-B model with slip boundary conditions and two-dimensional Oldroyd-B model with diffusive stress with slip boundary conditions . Meanwhile, the quasi-neutral limit of three-dimensional drift-diffusion models for semiconductor with smooth sign-changing doping profile will also be considered.

偏微分方程组的渐近极限问题是偏微分方程理论研究的重要分支之一。流体力学方程组的低马赫数极限问题和半导体模型的拟中性极限问题是两类来源于物理的偏微分方程组的渐近极限问题，本质上是奇异极限问题，是当前偏微分方程研究的前沿问题，具有重要的理论意义和坚实的应用背景，同时也富有挑战性。. 本项目重点研究用于描述理想的多方气体的非等熵可压缩Navier-Stokes方程组的一般初始值和温度大变差情形下的低马赫数极限问题和有界区域中的粘弹性流体方程组的低马赫数极限问题（包括三维有界区域中具有滑动边界条件的Oldroyd-B模型的整体强解的低马赫数极限问题和具有滑动边界条件的带有扩散应力的二维Oldroyd-B模型的低马赫数极限问题）；同时开展对三维空间中掺杂分布光滑变号的情况下的半导体漂流扩散模型的拟中性极限的研究。

不可压缩极限问题本质上是奇异极限问题，所以从数学角度来严格证明不可压缩极限往往会遇到很大的困难，其难点关键在于如何得到证明中所需要的关于Mach数的一致估计和对不可压缩模型的收敛性。在众多的不可压缩极限的研究成果中，方程组中涉及的粘性系数大多是常系数，然而从物理角度来看，粘性系数为关于密度的函数时的不可压缩极限问题更具有研究意义。本项目重点研究了粘性系数依赖于密度的情况下的不可压缩极限，其中包括有界区域中三维等熵可压缩Navier-Stokes方程组的整体解的不可压缩极限问题，有界区域中三维非等熵可压缩Navier-Stokes方程组的整体解的不可压缩极限问题，有界区域中三维MHD方程组的整体解的不可压缩极限问题，以及三维有界区域中的Oldroyd-B模型的局部解的不可压缩极限问题。针对粘性系数依赖于密度的情况，从理论上严格证明当粘性系数趋于零时，三维等熵可压缩Navier-Stokes方程组的解收敛到相应的Euler方程组的解。对于三维有界区域中的Oldroyd-B模型的局部解的不可压缩极限问题，已经得到初步结论，正在整理成文。粘性系数依赖于密度的不可压缩极限问题的结果，不仅在理论研究中具有重要意义，也为实际应用提供一定的理论支持。. 其次，本项目研究了时滞忆阻神经网络模型的有限时间同步问题。与已有的具有不连续特征的神经网络有限时间同步相比，我们直接把所研究模型视为一个切换系统，通过引入新的数学分析方法，设计新颖的控制器，在使用非光滑分析和借助于有限时间收敛定理的情况下，建立了所研究模型实现有限时间的同步判据。最后，通过数值算例验证了理论结果的有效性。. 之后，本项目研究了奇异Minkowski-曲率方程的Dirichlet问题，该问题涉及平均曲率算子,该问题涉及平均曲率算子。我们得到了三个和任意多个正径向解的存在性。. 最后，本项目研究了带p(t)-Laplacian算子的分数阶Langevin方程反周期边值问题解的存在性。