一般Sturm-Liouville边界条件下一些偏微分方程的KAM理论

本项目研究在一般的Sturm-Liouville边界条件下一些偏微分方程的无穷维KAM理论。通过分析非线性Ginzburg-Landau方程，研究其在一般的Sturm-Liouville边界条件下相应谱的具体性质，给出与其Hamilton结构相适应的KAM定理，得到其拟周期解的存在性与稳定性。考虑依赖于空间变量X的波动方程，分析其在Sturm-Liouville边界条件下对应性质，研究其Hamilton系统的结构，给出KAM定理，从而在高维空间中得到其拟周期解的存在性与稳定性。波方程描述了自然界各种各样的波动现象，一直受到国内外众多学者的广泛关注，并取得了很多有意义的研究结果。现有的结果大多是处理比较理想的常系数情形，而依赖于X系数的波动方程是一种更为实际的模型，在本项目中在一般边界条件下通过对这类变系数波动方程的拟周期解的研究，将会为人们进一步深入地认识和理解波动现象提供必要的理论依据。

本项目主要考察无穷维哈密顿系统在一般边界条件下动力学行为，特别是其周期解和拟周期解的存在性和稳定性。首先我们研究了依赖于空间变量的变系数波动方程，这类方程主要描述的是非均匀介质中波的传播，例如非均匀弦的振动和在各处具有不同密度和弹性系数的地质层中传播的地震波等，这类波动现象一直受到国内外众多学者的广泛关注。对于这类依赖于空间变量x 的变系数波动方程，我们分别考虑了Dirichlet边界条件，Neumann边界条件，Dirichlet-Neumann边界条件，和Sturm-Liouville边界条件下，根据不同的边界条件波动算子对应不同的谱和特征值，分析了其谱的分离性和渐进性， 首次利用无穷维的KAM理论， 得到了这类变系数波动方程拟周期解的存在性和稳定性。这一研究成果可以让我们更好的理解非线性现象，对于这类更贴近实际的物理模型的波动方程有了更深刻的认识。其次对于一般的梁方程和高阶波动方程，对于Dirichlet边界条件下，我们分析了该边界条件下对应算子谱的性质，利用其分离性，根据无穷维KAM定理，得到拟周期解的存在性和稳定性。通过对高价波动方程的研究，我们可以理解更一般的非线性方程，对于涵盖了波动方程和梁方程的一大类方程的拟周期解的存在性有了更加清晰的认识，从而对我们研究更加复杂的方程具有指导意义。完全共振现象是目前研究的热点问题之一，由于共振的作用那么已有的方法已经失效。我们考虑拟周期外力作用下的波动方程和梁方程，在周期边界条件下，行波形式拟周期解的存在性和正则性。我们利用变化的Lyapunov-Schmidt约化的方法，将考虑的问题转化为值域方程和分支方程，分支方程由于是完全共振的，那么是无穷维的，我们将其分成两部分，利用压缩映射原理在一个零测度集下，得到分支方程的无穷维部分和值域方程解的存在性。对于分支方程的有限维部分，我们利用环绕定理从而得到了解的存在性和正则性。目前已有的成果研究的外力一般不依赖时间或者是关于时间是周期的，我们的结果是在拟周期外力作用下，此外，我们得到的拟周期解是耦合依赖于时间和空间变量的。这一结果可以让我们更好的理解非共振现象，对这类完全共振方程拟周期解的存在性有深刻的认识，从而对解决这类共振问题提供理论依据和指导。