周期介质中波动问题的动力学性质

In this project, we will consider the dynamics of scattering problem with periodic structure in the time-domain . The time-domain scattering problems have attracted considerable attention due to their capability of capturing wide-band signals and modeling more general material and nonlinearity. Especially, it has a wide range of applications in mathematical physics, medicine, geosciences, life sciences, materials science , information science and many other important areas of science and technology. Therefore, the dynamics of the scattering problem and the efficient computing method in time-domain have become a great concerned issue both in the fields of theoretical research and practical application for a long time. . The main goal of this proposal is to investigate the existence and stability of quasi-periodic for nonlinear wave equation with variable coefficients and nonlinear Maxwell equation, which corresponding to scattering problem of the periodic dielectric grating and bi-periodic grating, respectively. For the nonlinear Navier equation, we will focuses on the existence and regularity of the periodic solution. In addition, we will study the electromagnetic diffraction of Maxwell's equations by bi-periodic dielectric gratings; the scattering of time-domain plane wave by a elastic medium with periodic medium. We will try to give the well-posedness of the linear scattering problem and the stability of the solution. For the linear Navier equation, we will give the asymptotic property solutions for the elastic wave. We expect that our result will be able to provide some necessary theory basis for people's further understanding of the scattering problem.

本项目主要考虑周期介质中时域上波动传播问题的动力学性质。时域上波动现象可获取更多信号信息、模拟更一般介质材料和非线性现象，因此在数学、物理、医学、地学、生命科学、材料科学和信息科学等许多重要科技领域都有广泛的应用。长期以来，时域波动问题动力学行为是理论研究和应用领域高度关注的研究课题之一。. 本项目拟研究时域上周期结构下电磁波和弹性波散射问题解的动力学性质。对双周期介质电磁波散射问题，给出线性Maxwell方程解的适定性和稳定性。考虑非线性电磁波散射问题：给出周期介质中变系数波动方程拟周期解的存在性和稳定性；对双周期介质，给出变系数Maxwell方程周期解的存在性。研究周期结构下弹性波散射问题，给出线性Navier方程解的存在唯一性和稳定性，分析解的渐近性；给出非线性弹性波方程周期解的存在性和正则性。这些研究将为人们深入理解散射现象提供必要的理论依据。

散射是指入射粒子或入射波在传播过程中受到介质非均匀的影响，而发生传播方向偏离的过程。散射理论在数学物理中扮演着重要角色，如计算机断层扫描在医学中的应用，地球物理勘探，雷达、声纳在军事中的应用等，都与散射理论密切相关。散射问题重点关注波和介质的相互作用。在实际问题中，许多散射波依赖于时间连续变化，呈现非正弦、非对称、宽带信号现象，如超快光导开关产生的皮秒级电磁瞬态、具有时间记忆材料中散射波的传播、超宽带雷达等，传统的Fourier变换技术不再适用，需要发展相应的时域散射理论。. 本项目对周期介质结构下波动现象的动力学性质展开深入研究： 针对周期结构的时域电磁波动问题，给出了周期结构下时域PML问题解的稳定性和唯一性，此外严格证明了PML解的收敛性分析。对于Lorenz规范下的时域Maxwell-Schrodinger系统的散射理论，构造了任意尺度的解，并给出了解的渐近性分析，对相应的远程作用和近程作用给出了细致的刻画。针对描述耗散弹性波动过程的非线性梁方程，利用Lyapunov-Schmidt约化得到了无理环面上行波型拟周期解的存在性和稳定性，为耗散结构弹性波动问题的稳定传播提供了理论依据。在各向异性的弹性介质中，针对变系数的Euler-Bernoulli梁方程，我们利用Lyapunov-Schimidt约化结合Nash-Moser迭代技术，证明了周期解的存在性和稳定性。针对复杂介质中电磁波的传播收到散射体几何结构的影响，我们建立了矩形腔体结构中电磁波动问题共振增强理论。对于多孔介质中电磁波动理论，我们建立了electro-seismic模型的重构框架，并得到了重构解的稳定性。对于负介质材料弹性波动系统，我们建立了时域电磁波模态逼近理论。这些理论结果对我们深刻理解电磁波动和弹性波动问题具有重要的指导意义，此外对于隐身材料的发展也有一定的启发。