时变区域与交错扩散对生物模型解的整体性态的影响

The goal of this projects is to study applications of chemotaxis cross-diffusion models on evolving domains in biology, focusing on the effect of cross-diffusion and time-dependent spatial domains on population dynamics, evolution, and disease spread. These models are quasilinear and non-uniformly parabolic equations with strong-coupling characteristics. Particularly, the well-posedness and dynamical behavior to these models have become important research subjects of partial differential equations and nonlinear dynamics. But the nonlinearity ofchemotaxis and evolving domains make the investigation very difficult. In this project, we will mainly focus on the following two aspects: . Firstly, we study the pattern dynamics of chemotaxis cross-diffusion models on evolving domains. First we establish a general theoretical framework for chemotaxis-driven instability for reaction-diffusion systems on time-dependent evolving domains by Lagrangian transformation. Second based on precise linear analyses, energy estimates and a bootstrap arguments, we will try to provide a rigorous quantitative characterization for the nonlinear evolution of early spatiotemporal pattern formation on the unstable positive constant equilibrium.. In the second part, we consider boundedness vs.blow-up of time-varying solutions for chemotaxis-cross-diffusion models on evolving domains. By using the entropy inequality or other types of comparison inequalities and Lyapunov functional, we investigate the blow-up criterion and the corresponding asymptotic behavior of the solutions. This will give a good characterization of chemotaxis cross-diffusion models on evolving domains and provide theoretic foundation for numerical computation.

本项目致力于研究趋化-交错扩散模型在生物学中的应用, 重点考虑空间区域变化和交错扩散对种群动力学、物种进化和疾病传播的影响. 特别地, 这些模型的适定性问题和动力学性态是偏微分方程理论和非线性动力学中的重要研究课题. 但是趋化的非线性和空间区域的时间依赖性使得研究工作十分困难. 本项目第一个主要目标是研究时变区域上趋化模型的斑图动力学. 首先应用Lagrangian变化建立时变区域上趋化导致的不稳定的一般理论框架; 其次, 基于精细的线性化分析、bootstrap 技巧和能量估计, 对正常数平衡解失稳初期时空斑图的非线性演化给出严格的定量刻画. 第二个主要目标是研究时变区域上趋化模型时变解的有界性与爆破问题, 应用熵不等式、及Lyapunov函数探讨解的爆破条件及其渐近性质. 通过对这些模型的研究希望从动力学角度理解它们的本质特征, 为数值计算提供可靠的理论依据.

现代科技的发展在很大程度上依赖于物理学、化学和生物学等学科的成就和进展, 而这些学科自身的精确化又是它们取得进展的重要保证. 学科的精确化往往是通过建立数学模型来实现的，而大量的数学模型可归纳为偏微分方程(组). 斑图生成(pattern formation)问题是现代科学技术中一个具有重要理论意义和实际应用背景的研究课题. 它描述了自然界诸如生态学、化学反应、基因生成等问题几种物质相互作用时的结构变化. 然而, 越来越多的研究者开始研究交错扩散的作用, 特别是趋化交错扩散. 交错扩散的存在可使其正常数稳态解失去原有的全局渐近稳定性, 产生非常数正稳态解. 称这一现象为交错扩散导致的斑图. 有趣的是, 即使当随机扩散没有产生新的斑图, 交错扩散仍可能产生新的斑图. 交错扩散不但导致了数学理论研究上的困难, 而且引起了许多动力学行为上的本质改变,例如,交错扩散可能导致方程不满足最大值原理, 另外还可能导致新的斑图生成.因此, 趋化交错扩散模型解的适定性和动力学性态成为近年来数学家、物理学家和数学生物学家们的热点研究领域。因此，本项目致力于研究趋化-交错扩散模型在生物学中的应用, 重点考虑空间区域变化和交错扩散对种群动力学、物种进化和疾病传播的影响. 特别地, 这些模型的适定性问题和动力学性态是偏微分方程理论和非线性动力学中的重要研究课题. 本项目第一个主要目标是研究时变区域上趋化模型的斑图动力学. 首先应用Lagrangian变化建立时变区域上趋化导致的不稳定的一般理论框架; 其次, 基于精细的线性化分析、bootstrap 技巧和能量估计, 对正常数平衡解失稳初期时空斑图的非线性演化给出严格的定量刻画. 第二个主要目标是研究交错扩散模型时变解的有界性问题, 应用熵不等式、及Lyapunov函数探讨解的渐近性质. 该研究有很广阔的应用前景，可以帮助理解生物入侵，疾病的传播等现象, 对生物入侵，疾病的传播，肿瘤和老年痴呆疾病等方面给出一系列的有效预防措施和治疗策略．