正则化参数后验选择的带有矩阵压缩的多尺度快速算法

Based on previous research, we use the projection method with compression technique to discrete regularization equation, and use multilevel augmentation methods and multi-level iteration methods to constructe the fast multiscale algorithms for the nonlinear integral equations and the selection strategy of choosing a posteriori regularization parameters. We study how to fully discrete the nonlinear regularized integral operator equations by introducing the projection operator for the difficulties that the nonlinear operator cann’t be discreted fully and truncated. We study the relations between the error estimations of the approximate solution of multiscale algorithms and the regularization parameter (the number of iterations), the error of projection approximation to Frechet-derivative operator and approximate subspace dimensions. We shall use existing discrepancy principles, theoretical analysis, numerical algorithms, propose a posteriori parameter (the number of iterations) adaptive methods for fast multiscale algorithms, which guarantee the optimal convergence rate of approximate solutions and the computational complexity is quasi linear. Numerical experiments will be presented to demonstrate computational efficiency and the theoretical estimates.

在前人研究的基础上，采用含有矩阵压缩策略的投影方法离散正则化方程，采用多层扩充法、多层迭代法求解离散后的正则化方程，从而构造求解第一类非线性积分方程的多尺度快速算法以及与之相匹配的正则化参数后验选择的快速算法。针对非线性积分算子无法直接全离散和矩阵压缩的困难,研究如何引入投影算子、利用矩阵压缩策略对正则化后的积分算子方程进行快速全离散。研究全离散后多种多尺度快速算法的近似解的先验误差估计与正则化参数（或迭代次数）、投影逼近Frechet导算子的误差以及投影空间维数之间的相互关系。研究如何合理利用这些相互关系，结合现有的偏差原理、迭代停止准则，通过理论分析、数值计算，提出与多尺度快速算法相匹配的多种后验参数（或迭代次数）选择的快速自适应方法，确保近似解的收敛率, 并在全离散的情况下具有拟线性的计算复杂度, 并给出数值实验验证算法的有效性。

. 研究并给出了Hilbert空间上求解第一类非线性积分方程的投影离散Landweber迭代算法、投影离散改进的Landweber迭代算法、投影离散Gauss-Newton迭代快速算法、投影离散简化的Gauss-Newton迭代法、投影离散简化的Levenberg-Marquardt迭代算法、多层次迭代快速算法、有限维空间中求解非线性积分方程的修正最小误差算法与简化动力系统等算法的收敛性的证明。给出了近似解的先验误差估计，依据先验误差估计，提出了改进的迭代步数的启发式选择原理，改进的正则化参数后验选择的偏差原理，从理论上分析了利用改进的启发式的偏差原理以及改进的迭代停止的偏差原理作为正则化参数后验选择准则的合理性，分析了近似解在正则化参数后验选择下的最优收敛率。数值结果表明了所提出方法的有效性。成功的将求解线性积分方程的投影算法部分推广到求解非线性积分方程。. 给出了求解线性积分方程的多种投影算法，有多层扩充算法，自适应的多层迭代算法。提出了一种基于耦合系统的自适应多层迭代方法，为求解不适定积分方程提供了快速有效的算法。建立了该算法在一定源条件下的一个先验参数选择规则和两个后验参数选择准则下的近似解的最优收敛率。降低正则化方程的维数，大大减少了数值计算的时间。. 在Banach空间提出了求解第一类Fredholm积分方程的多尺度快速算法。在积分算子是弱扇形紧算子时, 给出了近似解的Banach范数下的误差估计。重点探讨了Banach空间中正则化参数后验选择算法的合理性。利用改进的迭代停止准则，给出了近似解的Banach范数下的收敛率。减少了内积计算的维数，降低了计算量。.