矩阵恢复的稀疏正则化算法及其应用

Up to now, with the increasing “need” and “dependence” of data, and the rapid development of technologies for sampling and storing data, high dimension data have emerged, such as remote sensing data, biological data, network data and market data. And those data are often appeared in the form of matrix. Therefore, how to deal with the high dimensional data in matrix, establish the new computational models and develop the effective algorithms are the urgent problems for computation science, information science and applied mathematics. This project firstly designs some sparse regularization algorithms for matrix recovery, derives the approximate optimal solution, and estimates the convergence speed with optimization algorithms, numerical approximation, statistical learning theory, matrix analysis, signal processing and other related theories and methods. Furthermore, it creates the new path to study the sparse regularization algorithms for matrix recovery, stability analysis and error analysis from the theory of statistical learning. Finally, it applies those proposed algorithms to high dimension image completion and high resolution image recovery. The completion of this project can provide the theoretical basis and algorithms for solving many practical problems, enrich computational models and basic algorithms in scientific computing with high performances, and further promote the development of interdisciplines.

当前，随着人类社会对数据“需求”与“依赖”的日益增强，以及数据采集和存储技术的飞速发展，诸如遥感数据、生物数据、网络数据以及市场交易数据等高维数据大量涌现，并且这些高维数据往往以矩阵的形式出现。如何处理这些矩阵数据、建立新的可计算模型并发展有效的算法是当前计算科学、信息科学、应用数学等所面临的亟待解决的问题。本项研究将综合运用并发展优化算法、数值逼近、统计学习理论、矩阵分析等相关理论与方法，拟对矩阵恢复稀疏正则化算法的设计与求解、收敛速度的估计等问题进行深入、系统的研究。同时，创造性地从统计学习理论角度研究矩阵恢复的稀疏正则化算法的设计、稳定性分析和误差分析等。最后，拟将发展的算法有效地应用到高维图像修补、高分辨率图像恢复等研究中。本项研究的完成可为诸多实际应用问题的解决提供理论依据与算法保证，丰富高性能科学计算的可计算建模与算法理论，进一步推动交叉学科的发展。

当前，随着人类社会对数据“需求”与“依赖”的日益增强，以及数据采集和存储技术的飞速发展，诸如遥感数据、生物数据、网络数据以及市场交易数据等高维数据大量涌现，并且这些高维数据往往以矩阵的形式出现。如何处理这些矩阵数据、建立新的可计算模型并发展有效的算法是当前计算科学、信息科学、应用数学等所面临的亟待解决的问题。本项目综合运用并发展优化算法、数值逼近、统计学习理论、矩阵分析等相关理论与方法，对矩阵恢复稀疏正则化算法的设计与求解、收敛速度的估计等问题进行了深入、系统的研究。针对高维矩阵数据的特征，提出并发展了矩阵恢复稀疏正则化算法的若干模型，设计了相应的算法并给出算法的分析与应用。具体研究内容: (a)低秩矩阵恢复的正则化算法与超分辨率图像重构；(b)低秩矩阵填充与超分辨率图像重建; (c)稀疏矩阵恢复的非凸正则化方法; (d)稀疏矩阵局部几何结构相似性和协同表示的超分辨率图像重建算法; (e)稀疏正则化的随机权网络学习算法与应用; (f)基于截断范数的矩阵恢复的正则化算法与应用; (g) 混合矩阵恢复稀疏正则化算法。同时，我们将发展的算法有效地应用到图像恢复、背景分离、超分辨率图像恢复等研究中。为高维数据处理与分析、图像处理等实际问题的解决提供了理论与方法，发展、丰富矩阵恢复算法理论与建模方法，进一步推动交叉学科的发展。. 本项目发表了论文31篇，其中在国内外应用数学、计算机科学的一些主流杂志，如《中国科学》、《IEEE TNNLS》、《IEEE TCSVT》、《Neural Networks》、《Applied Math. Modelling》、《Information Sciences》等发表了20多篇，SCI检索27篇。