非线性波动方程解的全局性质

Various wave phenomena are observed in the universe. Among them there are sonic waves, water waves and electromagnetic waves. Mathematicians use wave equation to describe these wave phenomena. Wave equation is one of the most classic second-order hyperbolic partial differential equations. It applies to the study of acoustics, electromagnetics, fluid mechanics, lasers and many other research fields. Solutions to non-linear wave equations, in particular, to those with a focusing non-linear term, possess quite complicated evolutionary properties. Known examples include finite-time blow-up solutions, scattering solutions that resemble a free wave, ground states independent of time and many more. There are a lot of open questions in this field of study, on which many top mathematicians are still working. In this project, we apply compactness-rigidity argument, channel of energy and other state-of-the-art methods to study the global behaviour of solutions to non-linear wave equations, in particular, the global behaviour of solutions to energy sub-critical wave equations.

自然界中广泛存在各种波动现象，如各种介质内传播的声波，江河湖海表面的水波和充斥于整个宇宙空间中的电磁波等。在数学上我们使用波动方程来描述这些波动现象。作为最为典型的二次双曲型方程之一，波动方程被广泛应用于声学，电磁学，流体力学等基础科学领域和激光等应用科学领域的研究。非线性波动方程的解，特别是含有聚焦性非线性项的波动方程的解具有相当复杂的演化性质。已知的例子包含存在时间区间为有限的爆破解，逐渐趋于自由波的分散解，与时间无关的基态解以及其他性质更为复杂的解。到目前为止，在这个领域仍有许多未解的难题，为国际上许多知名的数学家所关注。本项目将使用紧致－刚性方法，能量通道方法等近些年来新引入的理论方法深入研究非线性波动方程的长期演化性质，特别是能量亚临界波动方程的长期演化性质。

本项目的主要研究对象是非线性波动方程。波动方程是最基本的数学物理方程之一，不仅在偏微分方程理论上具有重要地位，而且在理论物理，流体力学等领域具有广泛的应用价值。本项目的主要研究内容是非线性波动方程解的长期性质，特别是分散性质。分散性指非线性方程的解当时间趋于无穷时逐渐接近一个齐次线性波动方程的解。本项目在继承原有的紧致-奇性方法、能量通道方法等思想方法的基础上，力求有所创新，将原有的针对3维波动方程的特征线方法推广到了高维情形，首创了内行波／外行波能量分析方法，并利用这些方法得到了一系列亚能量临界散焦性波动方程的分散性定理。例如，在假定能量有限的情况下，任何径向解在光锥外总是具有分散性。在不假设径向条件的情况下，只要初值在接近无穷远处具有一定的衰减性，就可以得到解在全空间上的分散性。这些新方法的重要意义在于：第一，这些新方法给出的结果与原先已知的结果相比，在结论相同的情况下假设条件更弱，因此具有更加广泛的应用价值。第二，这些新方法，特别是内行波／外行波能量方法，具有更加直观的物理意义，能够更好地揭示内在的物理规律，对其他类似的数学物理方程的研究工作中也具有借鉴和应用价值。