李超代数中若干问题研究

The theory of Lie superalgebras is an important branch of Lie theory, which is closely related to Physics and many branches of Mathematics. We are mainly concerned with some key problems relative to the classification and representation theory of simple Lie superalgebras: (1) Following the Recognition Theorem due to Kac and the refined proof due to Benkart, Gregory and Premet, we aim to establish a corresponding super-version theorem; (2) Using the weight-derivation method, we compute the low dimensional cohomology groups of classical modular Lie superalgebras with coefficients in the modular Lie superalgebras of Cartan type;(3) As in modular Lie algebra case, we aim to determine the infinitesimal deformations of modular Lie superalgebras of Cartan type; (4) Using Kac modules, we aim to classify the irreducible representations of certain simple modular Lie superalgebras of odd Cartan type; (5) We aim to characterize the maximal graded subalgebras of the non-restricted graded simple modular Lie superalgebras of Cartan type and the nongraded maximal subalgebras of the restricted Lie superalgebras of Cartan type or the Cartan Lie superalgebras of characteristic zero; (6) We aim to study the superalgebra structure of cohomology and the problems on the faithful representations for some solvable Lie superalgebras over a field of any characteristic;(7) Using the theory of modular Lie superalgebras, we aim to research the derivations、cohomology and deformations of restricted Lie color algebras and restricted Hom-Lie superalgebras; (8) We aim to study affine Kac-moody superalgebras, characterize superderivation superalgebras of the contragredient Lie superalgebras and determine the pairings of generators of affine Lie superalgebras.

李超代数与理论物理及数学的许多分支有密切关系,本项目旨在研究李超代数中若干互相关联的重要问题：（1）类比Kac的识别定理及Benkart-Gregory-Premet给出的加细证明，建立模李超代数的识别定理；（2）利用权导子方法，计算典型模李超代数的系数在Cartan型李超代数的上同调群；（3）类比模李代数方法，刻画Cartan型模李超代数无穷小形变；（4）利用Kac模研究奇Cartan型模李超代数的不可约表示；（5）刻画非限制Cartan型模李超代数的阶化极大子代数以及限制Cartan型李超代数与特征零Cartan型李超代数的非阶化极大子代数；（6）研究可解李超代数的上同调群的超代数结构以及忠实表示相关问题；（7）研究限制色李代数和限制Hom-李超代数的导子、上同调、形变等问题；（8）研究仿射Kac-Moody超代数，逆步李超代数的超导子代数的结构, 仿射李超代数生成元配对问题。

李超代数作为李代数的自然推广，在理论物理和数学领域中扮演重要角色。本项目旨在研究李超代数中若干互相关联的重要问题：（1）刻画了八类限制Cartan型模李超代数的极大阶化子代数并进行分类；（2）利用Kac模研究奇Cartan型模李超代数的不可约表示；（3）研究可解李超代数的上同调群的超代数结构以及忠实表示相关问题；（4）研究了Cartan 型单模李超代数的生成元问题；（5）讨论了非限制Cartan型模李超代数的自同构群；（6）研究了有限维单李超代数、半单李代数以及一些幂零李代数的Hom-结构及相关问题；（7）利用模李代数理论研究某些广义李超代数的同态、导子、上同调、形变等问题并构做了一些“新”的广义李超代数；（8）研究了基本典型李超代数的结构，如（2-）局部导子以及2-局部自同构等。