带有反射不变测度的拉冬变换

关于反射不变测度的调和分析（Dunkl理论）是仅有20年历史的新领域，而拉冬（Radon）变换是与调和分析、积分几何和放射线断层摄影技术（CT）等多领域相关的课题和工具，本项目结合这两个重要研究领域，提出研究带有反射不变权的广义拉冬变换这一新课题。对比经典拉冬变换及其已有推广，它不仅能提供函数重构的新方法，也为关于反射不变测度的调和分析的研究提供了新工具。具体研究工作包括：以适当的方式给出带有反射不变权的广义拉冬变换及其对偶的定义，研究其一般结构和性质，特别是与Dunkl理论中的各种工具的联系；研究它们对于带有反射不变权的球面调和函数的不变性、支集定理和值域定理；在L^p空间中建立一般的广义Fuglede公式，由此给出广义拉冬变换的各种重构逆公式；对支集分别在单位球内和球外的函数建立带有反射不变权的拉冬变换的奇异值分解；利用广义拉冬变换研究带有微分-反射算子的广义波方程的解的结构和性质。

本项目研究带有反射不变权的广义拉冬变换及其调和分析问题。利用Dunkl 理论中的缠绕算子及其对偶算子，结合经典的Radon 变换给出带有反射不变权的广义Radon 变换（称为Dunkl-Radon 变换）及其对偶变换的定义，建立了Dunkl-Radon 变换的基本理论，包括Dunkl-Radon变换的值域定理、支集定理、广义的Fuglede 公式、在加权L^p空间中的逆定理，以及Dunkl-Radon变换和它的对偶变换对于齐次h-球面调和函数类的不变性。广义Radon 变换被用于一类偏微分方程的解的表达。利用其在二维特殊情况下的一个对称性质，得到了Jacobi 多项式的一个新的乘积公式。研究了一类具有双旋转不变性的加权Radon 变换的结构，给出满足这种不变性的加权Radon 变换的权函数的特征，利用乘积球面调和展开和二元Volterra 积分方程的理论证明了加权Radon 变换的支集定理、值域定理，对支集在单位球内和单位球外的函数建立了奇异值分解。提出一种修正衰减拉冬变换，与原形式相比，修正衰减拉冬变换具有与经典拉冬变换有更大的相似性，有更多的可比性，说明修正衰减拉冬变换有更大的适应性和应用范围。我们证明了修正衰减拉冬变换的结构性质，值域定理、支集定理，给出了修正衰减拉冬变换的两个逆公式。分别系统研究了在上半平面上和单位圆盘内带有反射不变权的调和分析，利用基于Dunkl算子的广义Cauchy-Riemann方程组引入相关的Hilbert变换和共轭函数，给出广义解析性的定义和各种等价刻画、证明了非切向广义Poisson极大函数的有界性、广义Hilbert变换和广义共轭函数有界性，建立了上半平面上和单位圆盘内带有反射不变权的Hardy空间的基本理论及其各种不等式等。研究了圆盘上的Hardy 空间关于Dunkl-Jacobi 级数（指数型Jacobi 级数）的乘子问题，证明了基于Dunkl-Jacobi 级数的Hardy-Littlewood 型乘子定理；我们还给出上半平面上的Hardy 空间关于广义Hermite 级数的乘子准则，相关的乘子定理蕴含着广义Hermite 级数型的Paley定理。