有限反射不变测度下的函数空间及其算子理论

The purpose of this research is to study the function space and operator theory under the finite reflection-invariant measures, and are stated in the following five aspects..i) The Lp and weak L1 boundedness of the Poisson integral, conjugate Poisson integral and their associated maximal functions for Lp functions under the finite reflection-invariant measures..ii) The theory of Hardy space under the finite reflection-invariant measures, and particularly its real analysis theory, and establish the dual theory of the correspongding H1-BMO space..iii) The singular integral theory based on the Hilbert transform under the finite reflection-invariant measures, and including the Littlewood-Paley functions and multiplier theory..iv) The research of Dunkl-Gegenbauer expansion on the unit circle under the finite reflection-invariant measures, and further study the Lp and pointwise convergence for the partial sum of the Dunkl-Gegenbauer expansion..v) Improve the theory of Hardy space on the unit disk under the finite reflection-invariant measures.

本研究致力于研究有限不变反射测度下的函数空间及其算子理论，主要有以下几个方面：.1. 有限反射不限测度下Lp空间的Poisson积分、共轭Poisson积分及其相关极大函数的Lp有界性和L1弱有界性。.2. 有限反射不限测度下Hardy空间理论，特别是其中的实分析理论，并建立相应的H1-BMO空间的对偶理论。.3. 以Hilbert变换为基础研究有限反射不限测度下的奇异积分理论，包含Littlewood-Paley函数与乘子理论等。.4. 有限反射不限测度下单位圆周上函数的Dunkl-Gegenbauer展开的研究，并进一步研究Dunkl-Gegenbauer展开的部分和Lp收敛与点态收敛问题。.5. 完善有限反射不限测度下单位圆盘上的Hardy空间理论。

有限反射不变测度下的分析理论即Dunkl理论开始于C.F. Dunkl自1988年以来的一系列工作，它提供了与反射对称和根系有关的多元特殊函数的理论框架和有效研究途径，也为调和分析带来了一个新领域。Dunkl，Heckman，Opdam，Rösler，Trimeche，Y. Xu，F. Dai，Z. Li等研究了Dunkl理论不同侧面的问题。但Dunkl理论中还有一些更基本的问题没有解决，如广义平移算子的有界性，Laplace算子的极大值原理等。相应的奇异积分理论研究的也很少。因此探索和完善有限反射不限测度下的分析理论无论是对系统理论的研究，还是对科学与工程应用的研究都具有重要的理论意义和应用价值。本项目研究了Dunkl理论框架下的一些调和分析理论，选择其中一些比较基础的、创始性的问题作为课题研究。主要为有限反射不变测度下的函数空间及其算子理论，包含Dunkl框架下Hardy空间理论和相关的奇异积分理论，以及Dunkl-Gegenbauer展式的各类收敛问题，等等。该项目研究成果由5篇学术期刊论文组成，其中SCI收录论文4篇。还有部分论文已投在审稿中。这些论文中主要分成三个部分。第一部分研究了与有限反射不变测度相关的若干调和分析问题。如：（1）运用向量值的奇异积分理论，得到了各种定义的g函数的(p,p)有界性;（2）对相关的实Hardy空间的等价刻画作了深入的研究;（3）研究了相关框架下的面积积分、极大函数刻画、原子分解等。第二部分研究了调和分析中的一些不等式问题，建立了一系列全新的且带有最佳常数因子的的Hardy型积分不等式，同时还给出了该类型不等式的算子表达式，一些等价形式和一些特殊情形。第三部分是研究了高维解析函数，主要是八元数解析函数，给出了k阶解析函数的Cauchy积分公式、Taylor展式和Laurent展式，以及任意两个解析函数相乘仍为解析函数的一些充分必要条件。这些成果显示了课题研究具有一定的可行性，所得结果取得了一定的突破。