反射不变测度下的调和分析中的一些问题

Harmonic associated with reflcetion-symmetry measures is a new subject in functional theory, and is a intersection field of several branches in mathematics. This project is to study several new problems in this field, such as a class of oscillatory singular integrals, restricted theorems and Bochner-Riesz means of the Dunkl transform, the generalized spherical maximal functions, the generalized translation of a class non-radial functions, the Riesz potentials in Dunkl setting and the associated general convolution operators, the Hardy multipliers of associated orthogonal expansions and the generalized Radon transform in Dunkl setting. Dunkl's theory has close relations with combinatorics, root systems, Weyl groups and Hecke algebra, the C-S model on the quantum many-body problem in mathematical physics is just the Dunkl operators associated with symmetric groups, and the Dunkl-Bessel functions in special parameters is the spherical functions in symmetric spaces of Euclidean-type. This is a research field with great potentialities.

关于在有限反射群下不变测度的调和分析是函数论中的新课题，是多个数学分支的交叉领域。本项目提出研究这一领域的几个新问题作为研究内容，包括：带有反射对称测度的一类振荡奇异积分，Dunkl变换的限制性定理和Bochner-Riesz平均、广义的球面极大函数的有界性、对一类非径向函数的广义平移的描述和有界性、Dunkl框架下的Riesz位势和一般卷积算子，以及与其相关的一些正交展开的Hardy空间乘子问题和拉冬变换等。Dunkl理论与组合学、根系、Weyl群和Hecke代数等有着深刻联系，数学物理中的C-S模型表现为关于对称群的Dunkl算子,而特殊参数下的Dunkl-Bessel函数为欧氏型对称空间上的球面函数，这使得该领域具有巨大研究潜力 。

本项目研究关于一类反射不变测度的调和分析中的几个问题。 C. Dunkl自1988年以来的一系列工作，奠定了关于在有限反射群下不变测度的调和分析的基础。本项目取得了下列研究成果：关于Dunkl框架下的Riesz变换，给出了广义Riesz变换的主值积分表示，对一类特殊的反射群下的情况，证明了广义Riesz变换的弱(1,1)有界性和强(p,p)有界性；提出一类带有反射对称权的振荡积分，确定这类振荡积分的几乎处处收敛性的正则性指标和发散集的Hausdorff维数，证明了相应局部极大函数的局部有界性；证明了Dunkl框架下的广义球面平均和广义平移的有界性、关于相应的广义卷积的Young不等式、以及带有一般核函数的Dunkl卷积算子及其极大算子的有界性；关于带有反射不变测度的振荡积分，确定了支集集中于球面的测度的Dunkl变换的衰减阶，并应用于关于Dunkl变换的限制性定理和Bochner-Riesz平均；利用调和分析的实变方法，建立了Hardy空间或广义Hardy空间中的函数相应于几类正交展开的一系列乘子定理；证明了关于Dunkl框架下的Littlewood-Paley函数的有界性和Dunkl框架下的Riesz位势的有界性，并用于相应于Dunkl变换的乘子算子；关于平面上的一般（加权）衰减Radon变换，在衰减函数满足较低的光滑条件和衰减条件下，建立了Novikov逆公式。