量子群与量子代数的模及其相关理论

This project will mainly focus on several important key problems of the representation theories of quantum groups and quantum algebras. We consider the decomposition of the tensor product modules of quantum toroidal algebras; we will complete the McKay-Slodowy correspondence of quantum twisted affine algebras, and using the McKay-Slodowy correspondence, we study the Poincare series in tensor algebra of twisted affine algebras; and study the relations between of the finite-dimensional modules and the comudules of quantum groups and others related problems. On the one hand, the research on these problems will helpful to enrich and improve the representation theory of quantum groups and quantum algebras, to promote to solve the related problems of the representation theory of quantum groups and quantum algebras. On the other hand, some problems in this project are to use the representation theory of group to realize twisted affine algebras, studying these problems will establish the cross topic problems of quantum algebras and group representation, it will promote the solution of other related problems, so this project has important theoretical significance and research value.

本项目将主要研究量子群与量子代数的表示理论中几个重要的关键问题，考虑量子环面代数的表示的张量积模的分解；完善扭型的量子仿射代数的McKay-Slodowy对应，利用McKay-Slodowy对应，研究扭型仿射李代数在张量代数中庞加莱级数；以及量子群的有限维模和余模的关系等课题。对这些问题的研究一方面有助于丰富和完善量子群和量子代数的表示理论，促进量子群和量子代数的表示理论相关问题的解决，另外一方面，本项目中部分课题是用群表示理论去实现扭型(量子)仿射李代数，对这些课题的研究还能建立量子代数与群表示等方向的交叉研究课题，促进其他相关问题的解决，具有重要的理论意义和研究价值。

李代数是现代数学中一类重要的非结合代数，起源于19世纪末经过一个多世纪的迅猛的发展，李理论成为当代数学的一个重要研究领域。量子群是李代数的一种自然推广，经过三十多年的迅速发展，量子群理论已经对许多领域产生了长远的影响，从理论物理，扭结理论到代数群的模表示都与量子群理论密切相关。本项目主要研究了量子环面代数的表示及其推广；完善扭型的量子仿射代数的McKay-Slodowy对应，利用McKay-Slodowy对应，研究扭型仿射李代数在张量代数中庞加莱级数；以及量子N环面代数的结构和顶点表示；量子仿射超代数的结构和实现以及量子计算中X态量子不和谐的精确解等课题。这些研究成果有利于量子代数相应研究工作的深入开展，促进其他相关问题的解决，具有重要的理论意义和研究价值。本项目接收发表含有项目标注论文14篇，主要代表性文章发表在著名国际期刊Journal of Algebra, Alg. Rep. Theory, Comm. Math Stat., Acta Math. Sinica, J. Alg. Appl., Comm. Algebra, Algebra Colloq., Int. J. Theo. Phys., Quan. Inf. Proc.上。另外在本项目执行期间，培养博士研究生2人，指导硕士研究生4人。