拟射影空间中的极值凯勒度量研究

本项目将研究拟射影流形中的极值度量相关问题，具体研究拟射影流形中的卡拉比泛函的变分，极值凯勒度量的对称性及具有极值凯勒度量的流形的李代数的结构；拟射影流形中凯勒度量空间的测地线的存在性，逼近及极值凯勒度量在某些情形的唯一性；我们还将研究带奇点的欧拉数为正的黎曼面或高维的拟射影流形上的凯勒 Ricci soliton 的存在性以及Ricci流的收敛性等问题，这些问题对于研究一些非紧凯勒流形的结构具有重要理论意义。

本项目主要研究凯勒几何中的极值凯勒度量和曲率流相关问题。我们首先研究了一类射影丛上带锥奇点的极值凯勒度量的存在性，并且给出了极值凯勒度量的存在性与K能量泛函某些性质的等价关系。然后，我们研究了Arezzo-Pacard文中常数量曲率度量的存在性所需的平衡性条件，证明了在复二维情形平衡性条件实际上是Futaki不变量在爆破时展开式的系数。我们还研究了凯勒流形上的阿尔法不变量，证明了当阿尔法不变量和凯勒类满足某些条件时，K能量泛函是proper的，这给出了在一般凯勒类中阿尔法不变量与K能量泛函的联系。最后我们研究了凯勒爱因斯坦流形上的拉格朗日平均曲率流和一般凯勒流形上的卡拉比流，证明了在某些初始条件下这些曲率流的长时间存在性和收敛性。