流形上的Bakry-Emery曲率，泛函不等式和热核分析

The Bakry-Emery curvature of Riemannian manifolds, functional inequalities and heat kernel ananlysis is one important branch of stochastic analysis and theory of Markov processes. Functional inequalities, such as Bakry-Emery inequalities, describe important properties of heat semigroups and are equivalent to the lower bounds of Ricci curvature(Bakry-Emery curvature). So one main object in this project is to study the equivalent relationship between the Bakry-Emery curvature and transportation-information inequalities. Notice that the Ricci curvature can not be bounded below for the hypoellitic operators(e.g. the sublaplace operator on Heisenberg group), i.e. the curvature dimensional condition does not hold. Thus we will study the functional inequalities and heat kernel analysis for the hypoelliptic operators satisfying the generalized curvature dimensional condition introduced by Baudoin and Garofalo. It mainly contains:study the gradient estimates of the logarithm of the heat kernel associated the hypoelliptic operators satisfying generalized curvature dimensional conditions; study the Barky-Emery inequalities on the n-Brownian motion model and study the gradient estimates for the positive solutions to the heat equations associated the hypoelliptic operator with potential (Schrodinger operators) and the corresponding heat kernel analysis.

流形上的Bakry-Emery 曲率, 泛函不等式和热核分析是随机分析和马氏过程理论的一个重要研究分支，也是当前国内外研究的热点之一。泛函不等式（如B-E热核不等式）刻画了热半群的重要性质且与Ricci曲率（B-E曲率）下有界是等价的。为此我们在该项目中要研究Bakry-Emery曲率与传输信息不等式之间的等价关系。注意到对于亚椭圆算子（如Heisenberg群上的次Laplace算子）其对应的B-E曲率不可能下有界(即曲率维数条件不满足)，为此我们还将研究满足一定曲率维数条件（如Baudoin-Garofalo提出的一般曲率维数条件）的亚椭圆算子对应的泛函不等式和热核分析，主要内容包括：满足一般曲率维数条件的亚椭圆算子对应的热核对数的梯度估计；n个布朗运动模型上的B-E热核不等式和研究带有势能的亚椭圆算子（Schrodinger算子）对应热方程正解的梯度估计及其热核估计。

流形上的 Bakry-Emery 曲率, 泛函不等式和热核分析是随机分析和马氏过程理论的一个重要研究分支，也是当前国内外随机分析研究的热点之一。本项目在次椭圆算子，调和测度等情形下建立相应的泛函不等式（如对数sobolev不等式，Poincare不等式等），并且在相应的模型上研究了与泛函不等式息息相关的Bakry-Emery曲率的性质，并由此得到相应的梯度估计，热核分析和熵的相关性质。具体地，1) 本项目建立了Bakry-Emery曲率维数条件与局部传输信息不等式的等价关系，丰富了已知的对于曲率维数条件与半群的泛函不等式的等价关系的图表；2)并在亚椭圆算子的特殊例子n个布朗运动模型上研究了径向函数的性质和证明了相应的Bakry-Emery曲率在径向方向是非负的，对满足一般曲率维数条件的次椭圆算子模型我们得到了Li-Yau型梯度估计和Hamilton型梯度估计，并得到相应的最优热核估计，由此研究了Perelman型熵的沿时间方向是递减的；3)在Heisenberg型群下,我们得到了中心化Hardy-Littlewood极大函数的最优估计；4)本项目还研究了在曲率维数条件下Phi熵的导数的性质，得到了Phi熵关于时间的导数是指数衰减的和在单位圆盘和高维球面上的cauchy测度和调和测度满足Poicare不等式和对数Sobolev不等式，并给出相应最优常数估计。