泛函不等式的一些相关问题

Functional inequalities and their related problems is an important branch of stochastic analysis and stochastic processes. Functional inequalities such as Poincare inequalities, Log-Sobolev inequalities play a crucial role in the study of measure concentration, estimation of tail probability, asymptotic behavior of SDE or SPDE, description of ergodicity, etc. In the setting of Riemannian manifolds, there are close relations between some functional inequalities and the Ricci curvature (or generally curvature dimension condition), the latter is a basic geometry concept. Even in certain conditions, they are equivalent. In the project, we plan to study the functional inequalities and their related problems with close link to the Ricci curvature (or generally curvature dimension condition) in various models. More precisely, we will consider the following problems: 1. Estimations of constants in functional inequalities and their relation to the (compact) property of underlying space; 2. Functional inequalities and related problems for subelliptic operators; 3. Ricci curvatures of the graphs, functional inequalities and related problems.

泛函不等式及其相关问题是随机分析和随机过程的一个重要研究分支。泛函不等式，如Poincare不等式（谱系不等式），对数Sobolev不等式在研究测度的集中现象、尾概率估计、随机(偏)微分方程的渐近行为及遍历性的描述中起到了重要的作用。在流形上某些泛函不等式与底空间上的一个基本几何量-Ricci 曲率（或曲率维数条件）具有非常密切的关系，甚至是在一定条件下两者具有等价性。在本项目中我们将在各种模型上研究与Ricci 曲率（或曲率维数条件）紧密联系的泛函不等式的一些相关问题，具体研究内容为：1. 泛函不等式的常数估计及其与空间性质（紧性）的关系；2. 次椭圆算子的泛函不等式及相关问题；3. 图上的Ricci曲率，泛函不等式及相关问题。

泛函不等式及其相关问题是随机分析和随机过程的一个重要研究分支，也是当前国内外随机分析及其相关领域研究的热点之一。泛函不等式，如Poincare不等式（谱系不等式），对数Sobolev不等式在研究测度的集中现象、尾概率估计、随机(偏)微分方程的渐近行为及遍历性的描述中起到了重要的作用，同时泛函不等式还有很多分析学（如PDE，几何结构和几何量，热核分析，熵等）息息相关。在流形上某些泛函不等式与底空间上的一个基本几何量-Ricci曲率或曲率维数条件）具有非常密切的关系，甚至是在一定条件下两者具有等价性。在本项目中我们在各种模型上研究与Ricci曲率（或曲率维数条件）紧密联系的泛函不等式的一些相关问题，在图和次椭圆情形在某种曲率维数条件研究了对应热方程解的梯度估计、热核估计和Perelman型熵的一些性质；对一类与对数Sooblev不等式紧密相关的非线性方程的解的最优梯度估计（Gauss测度情形为最优）并在线性方程（热方程）情形得到了新型的梯度估计，该估计推广了目前很多类型的Li-Yau型估计；另外利用无穷小生成算子的Levy表示（speed函数和scale函数）研究了一维Sturm-Liouville算子的无穷唯一性并通过比较得到Fokker-Planck方程的唯一性；同时项目得到了某些随机反应扩散方程的收敛型和传输不等式等结果。