有限域上指数和与量子码的研究

Exponential sums on finite fields are important research objects in both number theory and communication theory. In CDMA & OFDM communication systems and stream ciphers, we need sequences with low auto- and cross correlations. It is equivalent to say that the corresponding exponential sum has small absolute value. We try to investigate the exponential sums with explicit expressions. In what follows, the cross correlation distribution of the sequences can be determined. Furthermore, the weight distribution of the associated cyclic code can also be determined. In this way, we may find periodic seqeunces family with low auto- and cross correlations. Meanwhile, we try to construct bent function and/or highly nonlinear function. Quantum codes provide reliable guarantee for quantum computing. Quantum MDS codes are quantum codes attaching quantum MDS bound. This project focuses on the construction of new quantum MDS codes. Our main potential tools are generalized Reed-Solomn codes over finite fields sastifying Hermitian self orthogonal property. Moreover, we try to improve some bound on quantum codes, for example, quantum TVZ bound.

有限域上的指数和是数论和信息科学中的重要研究对象。CDMA和OFDM通信系统以及流密码中需要自相关和互相关值较小的周期序列，这相当于对应的指数和的绝对值较小。我们试图研究那些有明显表达式的指数和；从而决定相应的周期序列的相关分布，构造具有较小自相关和互相关值的周期序列族。另外，我们可以决定相应的循环码的权分布。 同时，我们尝试构造新的bent函数或者高非线性度的函数。 量子码为量子计算的实现提供了可靠的保障。量子MDS码是指达到量子Singleton界的量子码。本项目致力于构造新的量子MDS码，所用的主要工具主要为有限域上满足厄尔米特自正交条件的广义Reed Solomn码。另外，我们试图改进量子码的某些界，例如量子TVZ界。

本项目中我们研究了以下几个问题：.1. 几类有限域上的指数和，序列相关分布及循环码和线性码的权分布。这几类循环码和线性码的权重可以表示成指数和的形式。我们把有限域上的半二次型表示成二次型的组合形式，从而给出这些码的权表达式。再利用数论和组合等工具，给出了这些循环码和线性码的权分布。其中有些码的参数可以达到线性码的Griesmer阶。在此意义下，这些码是最优的。同时，利用这些指数和我们可以构造序列族，这些序列族的参数可以渐进达到Welch界。.2.我们构造了几类自对偶MDS码和厄尔米特自正交MDS码，主要的工具是利用奇特征有限域上的(扩展)广义里德-所罗门码。与以前的构造相比，在固定的字母集的前提下，我们的构造的自对偶MDS码数量更多，具有更多可变的参数。厄尔米特自正交MDS码可以用来构造量子MDS码。 在我们的构造中，一些量子MDS码的极小距离超过码长的一半。.3. 我们给出了一类新的完全非线性函数，这些函数定义在特征为奇素数的有限域上。 另外，我们证明了这些函数与已有的完全非线性函数都是CCZ-不等价的。同时，我们证明了对应的交换半域和已有的交换半域都是非迷向的。