双曲空间中的一类非线性抛物方程解的若干性质的研究

Hyperbolic space is one of classical examples of a complete Riemannian manifold. It has an intrinsic structure which is different from Euclid space. We study several properties of solutions of nonlinear parabolic equations on hyperbolic space by using methods in partial differential equations and geometric analysis. Firstly, we will show the existence of nonnegative solutions of nonlinear parabolic equations. Secondly, we will establish the relationship between global existence and blow-up of nonnegative solutions. Furthermore, differential Harnack estimate is obtained on hyperbolic space. Research on the properties of solutions of nonlinear parabolic equations may reveal the relationship between the structure of hyperbolic space and properties of solutions.

双曲空间是典型的完备黎曼流形，其几何结构与欧氏空间有较大区别。本项目拟深入研究双曲空间中一类非线性抛物方程解的若干性质，用偏微分方程和几何分析的方法，从寻找非线性抛物方程非负解的必要条件入手，建立非负解的整体存在性与有限时刻爆破之间的关系；并深入研究双曲空间中抛物方程解的微分Harnack估计。开展本课题的研究，可进一步揭示双曲空间中几何结构对方程解的性质的影响。

双曲空间是典型的完备黎曼流形, 其上的抛物方程具有退化性。本项目致力于研究双曲空间中非线性抛物方程解的整体存在性、有限时刻爆破性和微分Harnack估计等理论，并讨论微分Harnack不等式的应用。具体地，我们研究了如下问题：双曲空间中一类初值问题解的整体存在性和有限时刻爆破性；双曲空间中一类初值问题解的微分Harnack不等式及其应用；非线性抛物方程组解的整体存在性等。本项目的关键研究手段是双曲空间中的热核、上下解方法等。相信本课题所得结果将丰富非线性抛物方程的结论，并将在整体解的存在性、爆破性和Harnack估计等方面中有重要应用。