几类代数上的Gorenstein投射模

The Gorenstein homological theory in module categories was originated from the work of G-dimension of finitely generated modules over commutative Noetherian rings. Later it was generalized to the case of two-sided Notherian rings and the modules of G-dimension zero were particularly studied. It was generalized to the case of general rings by Enochs and etc, who gave the definition of Gorenstein projective modules. It was later be proved that for the finitely generated modules over two-sided Notherian rings, the concepts of the modules of G-dimension zero and Gorenstein projective modules are the same. Since its nice stable properties, it has been a very important research object in relative homological theory and representation theory of algebra. It is a very basic and meaningful problem for constructing all the Gorenstein projective modules for a given algebra. The research on cluster-tilted algebras is very popular in the field of algebra since it was introduced. The triangular matrix algebra is also a kind of basic and important algebra. Therefore this project aims to focus on the Gorenstein projective modules over cluster-tlted algebras, triangular matrix algebras, tensor product algebras, monomial algebras and etc. The properties, structures and characterizations of Gorenstein projective modules over these classes of algebras are also given.

模范畴中的Gorenstein同调理论起源于交换Noether 环上关于有限生成模的G-维数的工作，这一概念后又被推广到双边Noether环上，并特别研究了G-维数为0的模. Enochs等人将它推广到了一般环上，定义了Gorenstein投射模. 后又被证明对于双边Noether环上的有限生成模而言，G-维数为0的模和Gorenstein投射模是一致的. 由于这类模良好的稳定性质，它已成为相对同调代数和代数表示论中一个非常重要的研究对象. 清晰地构造出一个代数上所有的Gorenstein投射模是一个非常基本而又很有意义的问题. 而丛倾斜代数自引入以来成为代数学中的热点之一，三角矩阵代数也是一类基本而重要的代数. 本项目主要围绕丛倾斜代数、三角矩阵代数、张量积代数、单项式代数等这几类代数上的Gorenstein投射模展开研究，给出这些代数上Gorenstein投射模的性质、结构和刻画.

项目主要在三角范畴的离散性、丛倾斜代数的Gorenstein投射模、自同态环是幺正则的模以及环论中的反例等方面进行了深入的研究，得到了一些结果，为进一步的研究提供了基础。现在很多学者对三角范畴、导出范畴的粘合有很大的兴趣。在一些代数上Jordan-Holder定理是否成立是其中一个重要的问题。自Vossieck引入导出离散代数之后，最近这个概念又被Broomhead、Pauksztello、Ploog推广到三角范畴关于一个有界t结构的离散性，实际上，这个概念等价于一个silting子范畴，当然，他们也介绍了一个对偶的概念：三角范畴关于一个有界余t结构的离散性。此外，Adachi、Mizuno、Yang等人研究了ST-triple的概念，发现它给出了一个很好的了解 t结构和余t结构的框架。我们利用ST-triple的性质证明了上述两种离散性是等价的。还给出了与其他两种离散性的关系，比如silting离散和t离散。作为一种特殊情况，我们给出了导出离散代数的一个等价的新定义，用一种新的方法得出了导出离散代数上Jordan-Holder定理是成立的。项目参与人推广了幺正则环的概念，对自同态环是幺正则的模进行了研究，给出了这类模的一些刻画。