谱方法在非交换遍历论中的刻画及应用

This project will systematically study and depict the corresponding form of Jacobs-de Leeuw-Glicksberg space decomposition and operator spectral method in noncommutative dynamical systems, and apply this theory to analyze and prove some noncommutative ergodic results. The specific contents are as follows: 1) the characterization of JdLG decomposition of Markov operator semigroups on noncommutative Lp spaces, the classification of noncommutative dynamical systems and the spectral measures and related properties of several types of transformation operators; 2) we use the spectral method to study the Wiener-Wintner type ergodic theorems and the Bourgain return times theorem of noncommutative Lp spaces under the actions of amenable group. The noncommutative ergodic theory originated from the need of studying quantum statistical mechanics, and has become an important extension and crossing front of noncommutative harmonic analysis and quantum probability theory in the direction of dynamical system. This research plan of the characterization and utilization of spectral method is based on the experience of the researchers comparing the classical with noncommutative case and the current situation that research on noncommutative ergodic theory is lack of systematic methods. This project is a meaningful crossing research subject with very specific content and clear targets.

本项目将通过系统的研究和刻画Jacobs-de Leeuw-Glicksberg空间分解和算子的谱方法在非交换动力系统中的对应形式，并应用这套理论来分析和证明一些非交换情形的遍历结果。具体内容为:1) 非交换Lp空间上Markov算子半群的JdLG分解的刻画，非交换动力系统的分类以及各种类型的变换算子的谱测度及相关性质；2) 利用谱方法研究顺从群作用下非交换Lp空间的Wiener-Wintner型遍历定理和Bourgain返时定理。非交换遍历论来源于研究量子统计力学的需要，并成为非交换调和分析和量子概率论在动力系统方向的重要推广和交叉前沿。系统的刻画和利用谱方法是基于研究者类比经典、非交换方向的经验以及非交换遍历论缺乏系统的研究手段之现状而提出的研究计划。本项目是一个研究内容具体、目标明确的有意义的交叉研究课题。

本项目以非交换遍历论为背景，其基于量子统计力学的需要，并成为非交换调和分析和量子概率论在动力系统方向的重要推广和交叉前沿。系统的刻画和利用谱方法是研究计划中的核心手段和关注点。通过系统的研究和刻画Jacobs-de Leeuw-Glicksberg空间分解和算子的谱方法在非交换动力系统中的对应形式，可以应用这套理论来分析和证明一些非交换情形的遍历结果。具体研究中主要涉及非交换Lp空间下动力系统和遍历理论，群作用的算子的谱理论，JdLG分解和Kronecker factor，Bourgain返时定理，非交换概率和非交换鞅空间及相关范数等价性刻画。目前已对群作用类型的非交换Local型遍历定理中得到了基本的刻画；对Bourgain返时定理下的子列型遍历定理得到了非交换多参数框架下Wiener-Wintner型收敛的完整结果，这对得到非交换的Bourgain返时定理又是一个重要推动；对非交换鞅的对称空间运用插值方法得到John-Nirenberg不等式，这对非交换遍历论的中的调和分析技术是重要的补充和完善。研究过程基本按计划进行执行，由于2020年新冠疫情的影响，更多进行了本单位团队的研究建设和内部研讨，培养了三名研究生从事非交换动力系统和量子随机分析的研究，增加了与中科院武汉物理数学研究所合作者关于非交换概率框架下调和分析的研究。出国交流部分和小型会议均受限不便开展。