发展方程的对称和基本解

本项目主要研究非线性发展方程的线性化以及基于李点对称方法对变系数线性抛物型方程基本解的构造。首先，研究利用最一般的点变换形式的Hodograph型变换，对一类具有深刻物理背景和几何意义的非线性扩散方程组以及最一般形式的二阶发展方程的线性化，给出变换前后方程及相应变换的完全分类。其次，对最一般形式的二阶线性齐次抛物型方程和二阶线性抛物型方程组，采用基于李点对称方法构造基本解，探讨变系数线性抛物型方程基本解及其允许的对称群之间的关系，给出方程基本解的对称解释。最后，利用相应Hodograph变换及变换后线性方程基本解，构造非线性发展方程精确解。.本项目所讨论的问题在物理、几何和金融等领域有广泛的应用，研究成果将在一定程度上丰富方程的对称群理论，为今后相关领域的研究奠定基础。

本项目主要研究了演化方程可积性，精确解的构造以及尖峰孤子解的轨道稳定性等问题。首先，发展了Hodograph变换结合对称群的方法研究了非线性演化方程组的C-可积性，对一类拟线性演化方程组给出了可线性化的条件以及能将其映射成变系数线性抛物型方程组的Hodograph变换的完全分类。其次，探讨了线性演化方程的基本解和其允许的李点对称群之间的关系，对一类变系数的抛物型方程组和一维及高维的带势函数的线性Schrödinger方程，利用对称群方法构造了方程的基本解，并通过Hodograph变换给出所研究的非线性方程初值问题的精确解。最后，对Novikov方程和推广的 形式的Camassa-Holm方程，我们通过建立联系高阶守恒律和方程扰动解最大值之间的不等式，以及联系守恒律和周期扰动解最大最小值之间的不等式的方法，分别证明了它们允许的尖峰孤立子解在能量空间H^1中的轨道稳定性。