多分量可积系统的 Liouville 相关性

This project concerns with the Liouville correspondence, and on the basis of which, the integrable properties, the geometric formulations and dispersive quantization for the multi-component integrable systems. Firstly, we establish the Liouville correspondence between the multi-component integrable hierarchies by utilizing the Liouville transformation between their respective isospectral problems, systematize the theory of Liouville correspondence for multi-component integrable systems and explore the integrable structures for the newly discovered integrable systems. Next, we study the geometric significance of the Liouville transformation between two integrable hierarchies endowed with disparate dispersive structures, and further explore the geometric structures of integrable systems possessing Liouville correspondence, with the aim to analyze the geometric formulations of their integrability. Thirdly, we classify the analytic and non-analytic traveling wave solutions, the existence and the formation mechanism of solition solutions to the multi-component integrable systems, and further analyze the relationship between the traveling wave solutions admitted by the multi-component integrable systems exhibiting different types of dispersive characteristic. Finally, we investigate the Talbot effect of dispersive quantization and fractalization for the nonlinear integrable systems with linear dispersion, and provide formulation of theorems and rigorous proofs. In particular, we aim to identify the effect of the Liouville transformation on the qualitative behavior of the solutions with the dispersive quantization characteristic, hoping to unfold the qualtitative features of those solutions which correspond to the nonlinear dispersive Talbot effect and differ with the traveling wave solutions, and to find undiscovered genuinely phenomena for the nonlinear dispersive integrable systems.

本项目研究多分量可积系统的Liouville相关性，并在此基础上，研究其可积性质、几何结构和色散量子化。首先，通过联系谱问题的Liouville变换，建立多分量可积方程族的Liouville相关性；发展和完善Liouville相关性的理论框架；研究由此得到的新的多分量可积系统的可积结构。其次，研究联系两类具有不同色散结构的可积方程族的Liouville变换的几何意义，以及相应可积方程族的几何结构及其可积性质的几何特征。第三，研究多分量可积系统行波解的分类，孤立子解的存在性和形成机理；分析具有不同类型色散结构的可积系统的行波解在Liouville变换下的联系。最后，研究具有线性色散结构的可积系统的色散量子化现象；探讨色散量子化效应在Liouville变换下的行为，挖掘允许非线性色散结构可积系统的与Talbot效应对应的，不同于行波解的性态。

本项目的研究领域是可积系统及其应用，主要研究内容围绕多分量可积系统的Liouville相关性展开，研究了几类典型的多分量Camassa-Holm(CH)型可积方程族的Liouviile对应；多分量可积系统的可积性质、孤子解、几何结构及其与不变几何流的内在联系；色散演化方程的色散量子化与分形现象；CH型非线性色散系统的浅水波背景等问题。已取得的重要结果和科学意义体现在以下四个方面。首先，给出了建立可积方程族、以及方程族允许的哈密顿守恒律族的Liouville相关性的理论框架，系统地研究了可积的两分量CH方程族、两分量Novikov（Geng-Xue）方程族和两分量对偶色散水波方程族的Liouvillve相关性问题。其次，建立了Möbius几何与多分量可积系统的谱问题之间的联系，得到了一类n+1分量的KdV系统和一类具有二次和三次非线性耦合结构的n+1分量CH系统，研究了它们的可积性质，证明了这个多分量CH系统允许非光滑尖峰孤子解，讨论了Tri-Hamiltonian对偶意义下的对偶可积系统对Bäcklund对应关系的继承性等问题。第三，分别研究了多分量、高维以及双向传播的色散演化系统的周期初边值问题，给出了高维和多分量色散演化系统的阶梯函数周期演化在有理时刻具有量子化行为的充分必要条件，通过对非线性模型的数值实验说明了这种效应可以延续到相应的非线性框架下，发现了双向传播的色散演化系统的阶梯函数周期演化不同于单向传播色散演化系统的新的量子复苏现象。最后，从具有一般旋度的浅水波模型中得到了一类新的高阶CH型非线性色散方程，并研究了非零旋度和非局部高阶非线性结构对浅水波深度的变化的影响等问题。