非线性混合型偏微分方程

This project concerns nonlinear partial differential equations of mixed type possessing physical background and theoretic meaning, which arise from physics, geometry, mechanics, biology, image segmentation, material science, engineering and other regions. The studied equations include nonlinear elliptic-hyperbolic and elliptic-parabolic partial differential equations of mixed type, nonlinear forward-backward parabolic equations, anisotropic nonlinear diffusion-convection equations and semilinear degenerate diffusion-convection equations. The aim is to establish reasonable mathematical formulations with physical conditions for these equations and to study their qualitative theory, such as well-posedness of problems, regularity, singularity and other properties of solutions. The study of these equations needs not only the classical theory of partial differential equations, but also the continual development and innovation in research tools and methods. The research results in this project can supply the important reference and guidance for practical problems, as well as enrich the theory of partial differential equations.

本项目计划研究来源于物理学、几何学、力学、生物学、图像处理以及材料科学和工程技术等领域的具有鲜明实际背景和重要理论价值的非线性混合型偏微分方程，包括非线性椭圆-双曲和椭圆-抛物混合型偏微分方程、非线性正倒向抛物方程、各向异性的非线性扩散-对流方程以及半线性退化扩散-对流方程。我们将针对具体的问题，提出符合问题背景的定解问题，合理定义问题的解，证明问题的适定性，并深入研究和探讨解的性质，特别是那些由方程的混合型特征所决定的奇异性质。研究这些方程，不仅需要经典的偏微分方程理论知识，更需要研究工具和研究方法的不断拓展和创新。研究成果既可以为实际问题提供重要的参考信息和理论依据，又可以丰富和发展偏微分方程的理论体系。

该项目研究那些来源于物理学、几何学、力学、生物学、图像处理以及材料科学和工程技术等领域的具有鲜明实际背景和重要理论价值的非线性混合型偏微分方程，包括非线性椭圆-双曲和椭圆-抛物混合型偏微分方程、非线性正倒向抛物方程、各向异性的非线性扩散-对流方程以及半线性退化扩散-对流方程。项目主要研究成果有：拟线性退化方程退化性的刻画和光滑亚音速-音速流及跨音速流的音速线结构，拟线性椭圆-双曲混合型方程和Meyer型光滑跨音速流的局部适定性，拟线性退化椭圆方程的自由边界问题和具有一般音速线的亚音速-音速流的适定性，拟线性退化椭圆方程的自由边界问题和二维管道内的亚音速-音速流的适定性，拟线性椭圆方程的自由边界问题和亚音速射流的适定性，来源于图像处理和生物数学领域的反应-扩散方程和方程组的适定性和控制理论。在Arch. Ration. Mech. Anal.、SIAM J. Math. Anal.、J. Differential Equations、Nonlinearity、J. Evol. Equ.、Adv. Nonlinear Anal.等杂志发表论文20余篇，于2019年获得吉林省科学技术奖二等奖，获奖项目名称为“物理和几何中的非线性偏微分方程的定性理论”，其中部分研究成果是该项目资助的一些论文。