马氏链的统计确认与受马氏链调控的风险模型研究

This project is one of the applied basic researchs for Markov chains. .Firstly, we study for the statistical identification of Markov chains. The study of Markov chains usually has an assumption with a known density matrix. However the issue on the statistical identification of Markov chains is an inversion process to identify its unknown density matrix, which has very power realistic applications. The density matrix is identified by statistical and probabilistic method, based on the partially observation at the motion of the underlying Markov chain. Here three types of Markov chains with conditions are as follows. .a. reversibility. .b. stationarity without reversibility. .c. Markovian environment..Secondly, we study for the risk models controlled by Markov chains. The ruin problem and stochastic control problem for the risk models controlled by Markov chain, especially by batch Markov arrival process (BMAP), are focused on. The characteristics is that some interesting factors, such as periodic dividend, randomized observation, are embedded. Those are as follows..d. Some risk models controlled by Markov chain are defined and structured. This is a basic work..e. Some path properties of BMAP are derived by track analysis method in probability. Then BMAP are embedded into the risk model modulated by Markov chain. .f. The risk models controlled by Markov chain with periodic observation and Markovian observation are discussed. The problem of ruin time has the new significance for such models, in which the ruin time must be at the observation time.

本项目属于马氏链的应用基础研究。1. 研究（有限）马氏链的统计确认。马氏链的理论研究通常都假定其密度矩阵已知。而马氏链的统计确认问题，却是创新性地反演过来，通过链的部分观测数据，用统计和概率方法确定马氏链的密度矩阵，实际应用性强。将分三种情形研究马氏链的统计确认问题：a. 可逆的；b. 平稳但不可逆的；c. 马氏环境的。2. 受马氏链调控的风险模型。研究模型特别是受批量马氏到达过程（BMAP）调控的模型的破产和随机控制问题。特点是在模型中加入周期分红、随机观察等元素。将研究：d. 数学上建立和构造受马氏链调控的风险模型（基础性工作）；e. 拟用轨道分析的概率方法研究BMAP的轨道性质，然后研究受BMAP调控的风险模型；f. 带周期观察和马氏观察的受马氏链调控的风险模型，此类模型的破产问题有新意义，破产只能在观察时刻发生。

背景：.理论研究中总是假定马氏链的密度矩阵（Q矩阵）已知，而实际问题中正是要求Q矩阵，故创新性地反演过来，通过其部分观测数据，用统计和概率方法确定其Q矩阵，并由此研究受马氏链调控的风险模型，更具实用性和新意。..主要内容：.一、马氏链的统计确认。主要是形成一般可逆马氏链的系统理论，推广到平稳不可逆的。探索马氏环境情形（极特殊的）。.二、受马氏链调控的风险模型。研究模型的破产和随机控制问题，特点是模型中加入周期分红、随机观察等元素：数学上严格地建立和构造受马氏链调控的风险模型；用概率方法研究批量马氏到达过程（BMAP）的轨道性质及受其调控的风险模型；带周期观察和马氏观察等受马氏链调控的风险模型。..重要结果：.一、马氏链的统计确认.提出了Q矩阵统计确认的Markov链反演法，对可逆马氏链形成了系统的统计确认理论：提出“禁忌速率”概念及性质，深入刻画状态子集的击中时分布在0时刻的导数与禁忌速率的微分关系表达，由此确认出Q矩阵。分为无环（树形）和有环的结构，给出其充分性的通用结论：可通过所有叶子状态和/或每个环中任何两相邻状态的观测来确认。对有环的结构，还给出必要性的通用结论：两相邻状态的观测是确认每个环或子环的必要条件，也是打开环的关键。特别，对环形链，两相邻状态的观测是可确认的充分必要条件。.平稳不可逆时，一定条件下得到其微分关系表达，利用环流分解给出一般的确认方法。.二、受马氏链调控的风险模型.数学上严格建立和构造了受马氏链调控的风险模型，含马氏相依和半马氏相依风险模型，证明了存在性；在给定一个马氏链即Q过程基础上，构造了Q过程的伴随马氏到达过程和伴随BMAP，并研究了其轨道性质，使用轨道分析法，有别于矩阵解析法。.在风险模型基础上，添加诸多控制元素，如分红、马氏利率、延迟索赔、随机收益、离散交互、马氏环境、周期分红、阈值派息、投资组合、再保险等，从而建立了诸多受马氏链调控的风险模型，并研究了其破产及优化控制策略，例如，马氏环境下的周期红利门槛模型等。..意义：.促进马氏链及风险模型的交融和应用研究；有关研究方法和结果也促进相关理论的深入研究和发展。