经典的非对称马氏链

The project focuses on the classical asymmetric Markov chains (single birth chains and single death chains, also called skip-free chains), which includes that we want to get the criterion on exponential ergodicty for single birth chains and study some classical problems for single death chains. Based on some dual relations between single birth chains and single death ones, we hope to develop some such new approaches and tools that we can further obtain the criteria on several ergodicity, recurrence and uniqueness or some practical sufficient conditions and necessary ones for single death chains. The approaches developed in the research on asymmetric Markov chains will be used to investigate some more complicated symmetric processes, for instance, birth-death processes on trees.

本项目旨在研究经典的非对称马氏链---单生链与单死链。内容包括：单生链指数遍历的判别准则，单死链的各种经典问题的判别。通过单生链与单死链的某种对偶关系，发展新的方法和工具，得到单死链的各种遍历性、常返性和唯一性的判别准则或者实用的充分条件和必要条件。将在非对称马氏链研究中发展出的方法应用于树上生灭过程等较复杂对称过程的研究。

本项目主要研究两类不可配称Markov链的代表---单生过程和单死过程。单生过程是粒子系统研究的重要工具，已经有丰富成果。对单生过程，我们将回返时的结果推广至回返时的积分型泛函，得到了其矩和分布Laplace变换的显式表达。其结果将有助于对单生速率矩阵的特征值研究。单死过程的特殊情形是广泛应用的分枝过程。对单死过程，将我们关于回返时矩的结果，推广至回返时的积分型泛函，包括了向上和向下两种积分型泛函，得到积分型泛函矩的Laplace变换的显式表达，主要方法是最小非负解理论和极限逼近。我们完整地得到单死过程的唯一性、常返性和遍历性这些经典问题以及强遍历性的判别准则；得到回返（灭绝）概率的表示以及代数遍历性判别准则。将上述研究中的思想和方法用于树上生灭过程这类可配称过程的研究，完整地得到其唯一性、常返性和遍历性这些经典问题以及强遍历性的判别准则，积分型泛函矩的表示等。近期的研究表明，这些方法适用于向上或向下一致有限程的Markov链。