关于Bessel函数一些性质的研究

Bessel functions attached to irreducible representations of general linear group over p-adic fields are important invariants, with rich representation theoretic and arithmetic properties. In this project, we plan to study three problems about Bessel functions. The first is, for supercuspidal representations, the relation between Bessel functions and another kind K-Bessel functions. The second is the relation between Bessel functions and Rankin-Selberg integrals, especially its relation to local gamma factors. This is the possible generalization of results of D.Soudry and F.Shahidi. The third is the analytic properties of Bessel functions, especially its local integrability. This is the generalization of results of E.Baruch on GL(3). These problems are important for us to understand properties of Bessel functions, and its role in local Langlands correspondence, and the classification and construction of supercuspidal representations.

Bessel函数是p-adic域上一般线性群的不可约表示的重要不变量，有着丰富的表示论和算术性质。本项目计划研究讨论关于Bessel函数的三个问题。第一个问题是对于特殊的超尖点表示，Bessel函数和另一类K-Bessel函数的关系。第二个问题是Bessel函数与Rankin-Selberg积分的关系，尤其是与局部伽马因子的关系。这是D.Soudry和F.Shahidi的结果在一般情形的可能推广。第三个问题是Bessel函数的解析性质，尤其是其局部可积性。这是E.Baruch在GL(3)上的结果在一般情形的推广。这三个问题的研究对于我们理解Bessel函数，以及其在局部朗兰兹对应和超尖点表示的分类和构造中的作用有着重要的意义。

在本项目中，我们研究了p进制数域上的线性代数群的不可约表示的Bessel函数的性质。对一般线性群，我们证明了Bessel函数的弱核公式。对于可分裂的线性代数群，我们证明了Bessel函数不同定义的等价性，并证明了Bessel分布是Bernstein中心的特征分布。作为应用，我们用Bessel函数证明了SL(2)上的局部逆定理，从而得到了SL(2)上自守型的一个强重数一定理。