关于阿基米德Bessel函数的研究及应用

Bessel functions attached to irreducible smooth generic representations of linear algebraic groups over p-adic fields are important invariants, and have been applied to Langlands functoriality conjectures and local converse conjecture of Jacquet in a crucial way. In the archimedean case, Cogdell and Piatetski-Shapiro have established a theory of Bessel functions on PGL(2) and use it to obtain Kuznetsov trace formula. On higher rank real reductive groups, such a theory is still completely unknown...In this project we will try to establish a theory of archimedean Bessel functions on general linear groups from the point view of representation theory. We will first try to define archimedean Bessel functions for irreducible smooth generic representations using oscillatory integrals. Then we study various properties of these Bessel functions, among which the most difficult and important ones are analytic properties. Finally we will consider some applications of archimedean Bessel functions to automorphic forms, especially their relations to local gamma factors. These will constitute basic foundations for further study and applications of archimedean Bessel functions.

Bessel函数是p-adic域上线性代数群的不可约光滑的generic表示的重要不变量，并且在朗兰兹函子猜想和Jacquet的局部逆猜想中有重要的应用。在阿基米德情形，Cogdell和Piatetski-Shapiro在群PGL(2)上建立了Bessel函数的理论，并用来得到Kuznetsov迹公式。在一般高维的实约化群上，类似的理论还是完全未知的。..在本项目中我们将尝试从表示论的观点，在一般线性群上建立阿基米德Bessel函数理论。我们利用振荡积分的方法对不可约光滑的generic表示来定义阿基米德Bessel函数。然后我们研究这些Bessel函数的性质，其中最困难最重要的是其解析性质。最后我们将考虑阿基米德Bessel函数在自守型中的应用，尤其是与局部伽马因子的关系。这将为进一步研究和应用阿基米德Bessel函数奠定基础。

Bessel函数是局部域上线性代数群的不可约光滑表示的重要不变量，并且在自守形式中有着重要的应用。在阿基米德局部域上，Cogdell和Piatetski-Shapiro在PGL(2)上建立了Bessel函数的理论，并得到了若干重要的应用。但在一般的线性代数群上，类似的理论还不清楚。.在本项目中我们定义了GL(2)和GL(3)上的 Bessel 函数，给出了它们的解析性质并讨论了它们在自守形式中的应用；研究了 Bessel 函数在不同的局部域上已有的结果，并尝试推广到更一般的情形；并建立了关于 Bessel 函数的新等式并讨论了它们的应用。.我们得到了如下重要结果。（1）利用Bessel 函数证明了p进数域上GL(n)的 Jacquet 局部逆猜想。（2）给出了复数域上PGL(2)的不可约酉表示的相对Bessel 函数和SL(2)的不可约酉表示的 Bessel 函数之间的新等式，并证明了在相对迹公式中出现的Bessel 分布和相对 Bessel 分布的一些正则性定理；这些结果反映了复数域上的 Waldspurger对应，并构成了 Jacquet 的相对迹公式在复数域上的局部谱理论。（3）利用之前证明的复数域Bessel函数的等式，把由Baruch和Mao证明的关于全实数域上的Waldspurger公式推广到了任意数域，得到了任意数域上的一个Waldspurger公式，并用这个公式首次给出了关于任意数域上一维亚辛群的Ramanujan猜想的一个非平凡的界。.以上结果分别发表在《欧洲数学会杂志》、《以色列数学杂志》及《泛函分析杂志》。