K-拟齐次Toeplitz算子的代数性质及可交换的Toeplitz代数

This project is dedicated to the research of algebraic properties of Toeplitz operators and related operators, which is a hot topics in multicomplex function theory and operator theory. We will study some basic algebraic properties of Toeplitz operators and related operators on the Bergman space, harmonic Bergman space, Segal-Bergman space, including the commutativity, semi-commutativity, zero-product problem, finite-rank problem and when the product of two Toeplitz operators is a Toeplitz operator, and then we will explore the Toeplitz algebra and related issues. Different from the previous research ideas which is on the premise of that the symbol is harmonic or pluriharmonic, this project will first explore some basic properties of k-quasihomogeneous Toeplitz operators. Then we use a polar decomposition to get the algebraic properties of general Toeplitz operators, in order to further reveal the relation and difference between single variables and several variables, and operator theory in different function spaces.

本项目致力于函数空间上的Toeplitz算子及其相关算子的代数性质的研究，属于多复变函数论及算子理论中的前沿热点课题。我们将研究Bergman空间、调和Bergman空间以及Segal-Bergman空间上的Toeplitz算子及其相关算子的交换性、准交换性、零乘积问题、有限秩问题、以及两个Toeplitz算子乘积什么条件下能够等于另外一个Toeplitz算子等基本性质，并进而研究Toeplitz代数及其相关问题。同以往在记号函数调和或多重调和的前提下进行研究的思路不同，本项目将首先探讨k-拟齐次Toeplitz算子的基本性质，然后利用极分解式最终得到一般Toeplitz算子的代数性质，进一步揭示单变量与多变量、不同函数空间上算子理论的联系与不同。

本项目致力于函数空间上Toeplitz算子及其相关算子的代数性质的研究，属于多复变函数论及算子理论中的前沿热点课题。我们主要研究了单位圆盘、单位开球、单位多圆柱上Bergman空间、调和Bergman空间以及Segal-Bergman空间上的k-拟齐次Toeplitz算子的交换性、准交换性、零乘积问题、两个Toeplitz算子乘积什么条件下能够等于另外一个Toeplitz算子及其交换子和广义半交换子的有限秩问题等基本性质，并进而研究Toeplitz代数及其相关问题。. 经过三年的努力,我们按照研究计划从单变量到多变量、从特殊记号函数到一般、从具体的代数性质到抽象的Toeplitz代数等步骤有层次有计划的开展，针对本项目的研究目标及拟解决的关键问题对研究内容进行了深入的研究，取得了丰硕的研究成果。特别是在Bergman空间以及调和Bergman空间中的k-拟齐次Toeplitz算子代数性质的研究上取得重大突破,获得了令人十分惊讶的结果。到目前为止，本项目已经彻底、系统地对单位圆盘上Bergman空间及调和Bergman空间中的拟齐次Toeplitz算子的代数性质的进行了完全刻画，得到了拟齐次Toeplitz算子和单项式Toeplitz算子所形成的交换子和广义半交换子有有限秩的充分必要条件、秩一典型分解式、值域和秩，并结合记号函数的极分解式探讨了以一般有界函数为记号的Toeplitz算子的代数性质。另外，还揭示了单位开球和单位多圆柱上Bergman空间以及多重调和Bergman空间中的k-拟齐次Toeplitz算子的基本性质，彻底解决了单项式Toeplitz算子的交换性问题及所形成的交换子的有限秩问题，并通过可交换的单项式Toeplitz算子构造出了非平凡的可交换的Toeplitz代数。. 本项目圆满达到了预期研究目标,取得了丰硕的研究成果,获得了很多令人十分惊讶的完美结果，研究结果更进一步揭示了单变量与多变量、不同函数空间上算子理论的联系与不同。